Enunciado

Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de seis casas decimais.

tg - 1 ⁡ x = 1 - x

Passo 1

Oie, vamos resolver essa atividade juntos hoje.

Temos a equação:

tg - 1 ⁡ x = 1 - x

E iremos utilizar o método de Newton para encontrar as equações dessa equação.

Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Em que x n e por assim diante é a nossa raiz, o que fazemos é dada um valor x n para a candidata a ser a raiz, nós vamos desenvolvendo diversos x n ' s até não encontrarmos mais variações significativas de valores.

Parece confuso, mas irei te ajudar a resolver.

Primeiro temos que f x é:

f x = tg - 1 ⁡ x + x - 1

Vamos agora precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar três regras de derivação, o da função trigonométrica, da função constante e do polinômio:

tg - 1 ⁡ x ' = 1 1 + x 2

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = tg - 1 ⁡ x + x - 1 '

f ' x = 1 1 + x 2 + x 1 - 1 - 0

f ' x = 1 1 + x 2 + 1

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

f x = tg - 1 ⁡ x + x - 1

f ' x = 1 1 + x 2 + 1

x n + 1 = x n - tg - 1 ⁡ x n + x n - 1 1 1 + x n 2 + 1

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , pelo gráfico abaixo parece ter ponto de intersecção em x = 0,5 , pronto, esse é um bom candidato, mas caso você não tenha um gráfico para olhar na hora da prova, pode escolher qualquer valor arbitrário, você só vai demorar mais para encontrar a raiz adequada, agora é só substituir, vamos lá então:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - tg - 1 ⁡ x 1 + x 1 - 1 1 1 + x 1 2 + 1

x 2 = 0,5 - tg - 1 ⁡ 0,5 + 0,5 - 1 1 1 + 0,5 2 + 1 ≈ 0,520196

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - tg - 1 ⁡ x 2 + x 2 - 1 1 1 + x 2 2 + 1

x 3 = 0,520196 - tg - 1 ⁡ 0,520196 + 0,520196 - 1 1 1 + 0,520196 2 + 1 ≈ 0,520269

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - tg - 1 ⁡ x 3 + x 3 - 1 1 1 + x 3 2 + 1

x 4 = 0,520269 - tg - 1 ⁡ 0,520269 + 0,520269 - 1 1 1 + 0,520269 2 + 1 ≈ 0,520269

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 0,520269 .

Resposta

A raiz é 0,520269 .

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