Enunciado

Use o método de Newton para aproximar a raiz indicada da equação com precisão de seis casas decimais.

A raiz de 2 x 3 - 6 x 2 + 3 x + 1 = 0 no intervalo 2,3

Passo 1

Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Vamos precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar duas regras de derivação, o da função constante e do polinômio:

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = 2 x 3 - 6 x 2 + 3 x + 1 ' = 2.3 . x 3 - 1 - 6.2 . x 2 - 1 + 3 x 1 - 1 + 0 = 6 x 2 - 12 x + 3

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - 2 x n 3 - 6 x n 2 + 3 x n + 1 6 x n 2 - 12 x n + 3

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , vamos usar x 1 = 2,5 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - 2 x 1 3 - 6 x 1 2 + 3 x 1 + 1 6 x 1 2 - 12 x 1 + 3 = 2,5 - 2 . 2,5 3 - 6 . 2,5 2 + 3 . 2,5 + 1 6 . 2,5 2 - 12.2,5 + 3 ≈ 2,2885714

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - 2 x 2 3 - 6 x 2 2 + 3 x 2 + 1 6 x 2 2 - 12 x 2 + 3 = 2,2885714 - 2 . 2,2885714 3 - 6 . 2,2885714 2 + 3 . 2,2885714 + 1 6 . 2,2885714 2 - 12.2,2885714 + 3 ≈ 2,228824

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - 2 x 3 3 - 6 x 3 2 + 3 x 3 + 1 6 x 3 2 - 12 x 3 + 3 = 2,228824 - 2 . 2,228824 3 - 6 . 2,228824 2 + 3 . 2,228824 + 1 6 . 2,228824 2 - 12.2,228824 + 3 ≈ 2,224765

Vamos lá, uma hora acaba, agora x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - 2 x 4 3 - 6 x 4 2 + 3 x 4 + 1 6 x 4 2 - 12 x 4 + 3 = 2,224765 - 2 . 2,224765 3 - 6 . 2,224765 2 + 3 . 2,224765 + 1 6 . 2,224765 2 - 12.2,224765 + 3 ≈ 2,224745

Vamos achar x 6 :

x 5 + 1 = x 6 = x 5 - 2 x 5 3 - 6 x 5 2 + 3 x 5 + 1 6 x 5 2 - 12 x 5 + 3 = 2,224745 - 2 . 2,224745 3 - 6 . 2,224745 2 + 3 . 2,224745 + 1 6 . 2,224745 2 - 12.2,224745 + 3 ≈ 2,224745

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 2,224745 .

Resposta

A raiz é 2,224745 .

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Derive a função: z = A y 10 + B e y