Enunciado

Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de seis casas decimais.

x + 3 = x 2

Passo 1

Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Primeiro temos que f x = x 2 - x + 3

Vamos agora precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar algumas regras de derivação, o da função constante, da cadeia e do polinômio:

c ' = 0

F ' x = f ' g x . g ' x

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = x 2 - x + 3 ' = x 2 - x + 3 1 2 ' = 2 x 2 - 1 - 1 2 x + 3 1 2 - 1 x + 3 ' = 2 x - 1 2 x + 3 - 1 2 x 1 - 1 + 0 = 2 x - 1 2 x + 3

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - x n 2 - x n + 3 2 x n - 1 2 x n + 3

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , pelo gráfico abaixo parace ter pontos de intersecção em x = - 1,2 e x = 1,5 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

Primeiro para x 1 = - 1,2 :

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 2 - x 1 + 3 2 x 1 - 1 2 x 1 + 3 = - 1,2 - - 1,2 2 - - 1,2 + 3 2 . - 1,2 - 1 2 - 1,2 + 3 ≈ - 1,164526

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - x 2 2 - x 2 + 3 2 x 2 - 1 2 x 2 + 3 = - 1,164526 - - 1,164526 2 - - 1,164526 + 3 2 . - 1,164526 - 1 2 - 1,164526 + 3 ≈ - 1,164035

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - x 3 2 - x 3 + 3 2 x 3 - 1 2 x 3 + 3 = - 1,164035 - - 1,164035 2 - - 1,164035 + 3 2 . - 1,164035 - 1 2 - 1,164035 + 3 ≈ - 1,164035

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é - 1,164035 .

Passo 4

Agora com x 1 = 1,5 , sei que é cansativo mas vamos lá:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 2 - x 1 + 3 2 x 1 - 1 2 x 1 + 3 = 1,5 - 1,5 2 - 1,5 + 3 2 . 1,5 - 1 2 1,5 + 3 ≈ 1,453449

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - x 2 2 - x 2 + 3 2 x 2 - 1 2 x 2 + 3 = 1,453449 - 1,453449 2 - 1,453449 + 3 2 . 1,453449 - 1 2 1,453449 + 3 ≈ 1,452627

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - x 3 2 - x 3 + 3 2 x 3 - 1 2 x 3 + 3 = 1,452627 - 1,452627 2 - 1,452627 + 3 2 . 1,452627 - 1 2 1,452627 + 3 ≈ 1,452627

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 1,452627 .

Resposta

As raizes da equação são - 1,164035 e 1,452627 .

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