Enunciado

Use o método de Newton para encontrar todas as soluções da equação correta para oito casas decimais. Comece desenhando um gráfico para aproximações iniciais.

23 .   - 2 x 7 - 5 x 4 + 9 x 3 + 5 = 0

Passo 1

Para fazer o que o enunciado pede, vamos ter que usar a seguinte fórmula do método de Newton.

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

Mas temos que passar nossa equação para forma de função, isso é de boa, basta jogar todo mundo para o mesmo lado, então:

f x = ln ⁡ ( x 2 + 2 ) - 3 x x 2 + 1

Mas se você reparar precisaremos de um x n inicial, um x 0 no caso, e como o enunciado não fornece, temos que escolher um. Vamos escolher a parti de um certo método, vamos comparar os gráficos das duas funções presentes na equação, que são ln ⁡ ( x 2 + 2 ) e 3 x x 2 + 1 e escolher o x 0 mais próximo da intercessão dos gráficos na parte positiva, abaixo temos esses gráficos.

Se você reparar, nossos gráficos se interceptam duas vezes, logo teremos duas raízes os pontos bons que podemos escolher é x 0 = 0,5 e x 0 = 4 , já que eles estão perto das intercessões.

Você pode estar se perguntando, quando devo parar de fazer conta? Bem quando encontrarmos dois valores consecutivos iguais até a sexta casa decimal, que é a precisão pedida no enunciado, está na hora de parar e assim o primeiro na sequência dos repetidos é a nossa raiz.

Passo 2

Antes de começar a fazer conta, temos que escrever nossa equação na forma de função, então:

f x = ln ⁡ ( x 2 + 2 ) - 3 x x 2 + 1

E agora derivar essa função para usar na fórmula mostrada em 1 .

f ' x = 2 x x 2 + 2 - 3 x 2 + 1 3 2

Agora partimos para fórmula.

Passo 3

Vamos então usar a bendita fórmula, primeiro para x 0 = 0,5 .

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

⇒ x n + 1 = x n - ln ⁡ ( x n 2 + 2 ) - 3 x n x n 2 + 1 2 x n x n 2 + 2 - 3 x n 2 + 1 3 2

Que negócio feio, mas fazer o que?

Então:

x 1 = 0,5 - ln ⁡ ( 0,5 2 + 2 ) - 3 ( 0,5 ) 0,5 2 + 1 2 ( 0,5 ) 0,5 2 + 2 - 3 0,5 2 + 1 3 2

⇒ x 1 = 0,5 - - 0 , 53071057 - 1 , 70218081

⇒ x 1 = 0 , 18821727

x 2 = 0 , 18821727 - ln ⁡ ( 0 , 18821727 2 + 2 ) - 3 ( 0 , 18821727 ) 0 , 18821727 2 + 1 2 ( 0 , 18821727 ) 0 , 18821727 2 + 2 - 3 0 , 18821727 2 + 1 3 2

⇒ x 2 = 0 , 18821727 - 0 , 15579667 - 2 , 66242145

⇒ x 2 = 0 , 24673417

x 3 = 0 , 24673417 - ln ⁡ ( 0 , 24673417 2 + 2 ) - 3 ( 0 , 24673417 ) 0 , 24673417 2 + 1 2 ( 0 , 24673417 ) 0 , 24673417 2 + 2 - 3 0 , 24673417 2 + 1 3 2

⇒ x 3 = 0 , 24673417 - 0 , 00448123 - 2 , 50606563

⇒ x 3 = 0 , 2485223 2

x 4 = 0 , 2485223 2 - ln ⁡ ( 0 , 2485223 2 2 + 2 ) - 3 ( 0 , 2485223 2 ) 0 , 2485223 2 2 + 1 2 ( 0 , 2485223 2 ) 0 , 2485223 2 2 + 2 - 3 0 , 2485223 2 2 + 1 3 2

⇒ x 4 = 0 , 2485223 2 - - 0,000004 - 2 , 50099966

⇒ x 4 = 0 , 24852413

x 5 = 0 , 24852413 - ln ⁡ ( 0 , 24852413 2 + 2 ) - 3 ( 0 , 24852413 ) 0 , 24852413 2 + 1 2 ( 0 , 24852413 ) 0 , 24852413 2 + 2 - 3 0 , 24852413 2 + 1 3 2

⇒ x 5 = 0 , 24852413 - - 0,00000 001 - 2 , 50099452

⇒ x 5 = 0 , 24852413

Como x 4 ≈ x 5 , logo nossa raiz é x 4 = 0 , 24852413 .

Passo 4

Vamos então usar a bendita fórmula, agora para x 0 = 4 .

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

⇒ x n + 1 = x n - ln ⁡ ( x n 2 + 2 ) - 3 x n x n 2 + 1 2 x n x n 2 + 2 - 3 x n 2 + 1 3 2

Que negócio feio, mas fazer o que?

Então:

x 1 = 4 - ln ⁡ ( 4 2 + 2 ) - 3 ( 4 ) 4 2 + 1 2 ( 4 ) 4 2 + 2 - 3 4 2 + 1 3 2

⇒ x 1 = 4 - - 0 , 02005574 0 , 40164404

⇒ x 1 = 4 , 04993412

x 2 = 4 , 04993412 - ln ⁡ ( 4 , 04993412 2 + 2 ) - 3 ( 4 , 04993412 ) 4 , 04993412 2 + 1 2 ( 4 , 04993412 ) 4 , 04993412 2 + 2 - 3 4 , 04993412 2 + 1 3 2

⇒ x 2 = 4 , 04993412 - - 0 , 00007008 0 , 39883715

⇒ x 2 = 4 , 05010983

x 3 = 4 , 05010983 - ln ⁡ ( 4 , 05010983 2 + 2 ) - 3 ( 4 , 05010983 ) 4 , 05010983 2 + 1 2 ( 4 , 05010983 ) 4 , 05010983 2 + 2 - 3 4 , 05010983 2 + 1 3 2

⇒ x 3 = 4 , 05010983 - 0 , 00 0000002 0 , 39882727

⇒ x 3 = 4 , 05010983

Como x 2 ≈ x 3 , logo nossa raiz é x 2 = 4 , 05010983 .

Resposta

x 4 = 0 , 24852413

x 2 = 4 , 05010983

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Determine se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta. Uma aproximação linear local de uma função que não é contante jamais pode ser contante.
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Use a diferencial d y para aproximar ∆ y de acordo com as mudanças de x. y = x x 2 + 1 ; d ex = 2p a r ax = 1 , 9 6
Use a diferencial d y para aproximar ∆ y de acordo com as mudanças de x. y = x 8 x + 1 ; d ex = 3p a r ax = 3,05
O lado de um cubo mede aproximadamente 25 cm, com erro possível de ± 1 c m (a) Use diferenciais para estimar o erro no volume calculado.(b) Estime os erros percentuais nos lados e no volume.