Enunciado

22. Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de seis casas decimais.

t g x = 1 - x 2

Passo 1

Nossa equação é a seguinte:

t g x = 1 - x 2

Antes de começar vamos esboçar um gráfico.

Considere a seguinte função:

f x = t g x - 1 - x 2

Pois resolver t g x = 1 - x é a mesma coisa que resolver t g x - 1 - x = 0

Passo 2

Agora é só usar aquela formula da teoria:

x n = x n - 1 - f x n - 1 f ' x n - 1

Lá do Passo 1:

f x = t g x - 1 - x 2

Derivando,

f ' x = sec 2 ⁡ x - 1 2 ⋅ 1 1 - x 2 ⋅ - 2 x = sec 2 ⁡ x + x 1 - x 2

OBS: Não esquece a regra da cadeia alí na derivada!

Arrumando as coisas, temos:

x n = x n - 1 - t g x n - 1 - 1 - x n - 1 2 sec 2 ⁡ x n - 1 + x n - 1 1 - x n - 1 2

Olhando o gráfico, podemos ver que é interessante pegar os seguintes pontos:

x 1 = 0 , 6

Passo 3

Vamos usar que x 1 = 0 , 6 :

x 2 = x 1 - t g x 1 - 1 - x 1 2 sec 2 ⁡ x 1 + x 1 1 - x 1 2

Fazendo as contas:

x 2 ≈ 0.652236

Para achar os próximos o processo é análogo. Logo,

Para x 3 :

x 3 ≈ 0 , 649894

Para x 4 :

x 4 ≈ 0 , 649888

Para x 5 :

x 5 ≈ 0 , 649888

Opa, como deu igual já podemos parar. Pois nos aproximamos o suficiente da raiz. Logo, a raiz aproximada de seis casas decimais será 0 , 649888

Resposta

A raiz aproximada de seis casas decimais será 0 , 649888

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