Enunciado

Use o método de Newton (Seção 4.7), quando necessário, para aproximar as coordenadas x das intersercções das curvas com pelo menos quatro casas decimais; em seguida, use isso para aproximar a área da região.

A região que está abaixo da curva y = s e n   x e acima da reta y = 0,2   x , sendo x ≥ 0  

Passo 1

Para encontrar a região englobada por curvas, precisamos analisar a região dada e montar a integral:

A = ∫ a b f m a i o r - f m e n o r d x

Ou

A = ∫ c d g m a i o r - g m e n o r d y

E calculá-la.

Mas para descobrir os extremos de integração, muitas vezes precisamos achar a interseção entre curvas, e é aí que entra o método de Newton. Ele diz que usando essa fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n ,   n = 1,2 , 3 ,   …

Achamos uma aproximação para x que zera a função f ( x ) . E para achar a interseção entre duas funções g ( x ) e h ( x ) a partir desse método, fazemos:

h x = g x ∴ h x - g x = 0

E chamamos:

f x = h x - g ( x )

Aí só usar a fórmulinha. Belezinha? Vamos começar!

Passo 2

O enunciado já nos diz que a região está limitada por cima pela função y = s e n   x e por baixo pela função y = 0,2 x . Já que temos funções de x , podemos escrever nossa integral como:

A = ∫ a b s e n   x - 0,2   x d x

O desafio é achar os extremos de integração. Vamos fazer a interseção entre as curvas:

s e n   x = 0,2   x

A primeira coisa que vemos é que os dois lados zeram se x = 0 , então podemos dizer que a = 0 , porque nossa região está em x ≥ 0   .

Mas a outra solução dessa equação, a gente vai ter que achar usando o método de Newton.

s e n   x = 0,2 x ∴ s e n   x - 0,2   x = 0 ∴ f x = s e n   x - 0,2   x

Agora a gente usa a fórmula de Newton até aproximar o valor de x com pelo menos quatro casas decimais:

f ' x = cos ⁡ x - 0,2

x n + 1 = x n - s e n   x n - 0,2   x n cos ⁡ x n - 0,2

Para chutar um x 1 , precisamos dar uma olhadinha no gráfico da região:

A gente vê que a interseção ocorre entre x = 2,5 e x = 3 , vamos começar chutando x 1 = 2,5 . Fazendo isso, vemos que x 3 e x 4 já repetem as mesmas quatro casas decimais:

Logo, nosso b = 2,5957 .

Passo 3

Agora é só calcular a integral:

A ≈ ∫ 0 2,5957 s e n   x - 0,2   x d x

A ≈ - cos ⁡ x - 0,1 x 2 | 2,5957 0   ≈ 1,18089

Resposta

A ≈ 1,18089

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