Enunciado

Encontre a região englobada pela curva y = s e n   x e a reta que passa pelos pontos ( 0,0 ) e 5 π 6 , 1 2 na curva.

Passo 1

Para encontrar a região englobada por curvas, precisamos analisar a região dada e montar a integral:

A = ∫ a b f m a i o r - f m e n o r d x

Ou

A = ∫ c d g m a i o r - g m e n o r d y

E calculá-la.

O charme desse exercício é só que a gente precisa achar a expressão de uma dessas funções. Mas vai ser tranquilo.

Vamos lá!

Passo 2

Essa é a nossa região:

Vemos que ela está limitada superiormente pelo seno e inferiormente pela reta, duas funções de x , logo integramos em x . Mas quem é essa reta?

Como ela passa pela origem, só precisamos calcular seu coeficiente angular:

m = 1 2 5 π 6 = 3 5 π

y = 3 5 π x

Os extremos de integração podemos ver pela coordenada x dos pontos dados:

a = 0 ,     b = 5 π 6

Nossa integral fica assim:

A = ∫ 0 5 π 6 s e n   x - 3 5 π x d x

Passo 3

Agora é só calcular:

A = ∫ 0 5 π 6 s e n   x - 3 5 π x d x

A = - cos ⁡ x - 3 10 π x 2 ​ 0 5 π 6 = 3 2 - 5 24 π + 1

Resposta

A = 3 2 - 5 24 π + 1

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