Enunciado

Use o método de Newton com o valor inicial especificado x 1 para encontrar x 3 , a terceira aproximação da raiz da equação dada. (Dê sua resposta com quatro casas decimais.)

6 .           1 3 x 3 + 1 2 x 2 + 3 = 0 ,               x 1 = - 3

Passo 1

O primeiro passo seria reescrever a equação na forma padrão, mas ela já se encontra neste formato. Sendo assim, utilizamos a fórmula:

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

No nosso exemplo f x = 1 3 x 3 + 1 2 x 2 + 3 = 0 e f ' x = x 2 + x . Então,

x n + 1 = x n - 1 3 ( x n ) 3 + 1 2 x n 2 + 3 ( x n ) 2 + x n

x 2 = x 1 - 1 3 x 1 3 + 1 2 x 1 2 + 3 x 1 2 + x n = - 3 - 1 3 - 3 3 + 1 2 - 3 2 + 3 - 3 2 + ( - 3 )

x 2 = - 3 - - 9 + 9 2 + 3 6 = - 3 - - 6 + 4,5 6 = - 3 + 0,25 = - 2,75

Achamos x 2 = - 2,75 .

Passo 2

Vamos achar x 3 usando x 2 .

x 3 = x 2 - 1 3 x 2 3 + 1 2 x 2 2 + 3 x 2 2 + x 2 = x 2 - 1 3 - 2,75 3 + 1 2 - 2,75 2 + 3 - 2,75 2 + - 2,75 ≈ - 2,7186

x 3 ≈ - 2,7186

Resposta

x 3 ≈ - 2,7186

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