Enunciado

Um fabricante tem vendido 1   000 aparelhos de televisão por semana, a $   450   cada. Uma pesquisa de mercado indica que para cada $   10   de desconto oferecido ao comprador, o número de aparelhos vendidos aumenta 100   por semana.

(a) Encontre a função demanda.

(b) Que desconto a companhia deveria oferecer ao comprador para maximizar sua receita?

(c) Se sua função custo semanal for C x = 68   000 + 150 x , como o fabricante deveria escolher o tamanho do desconto para maximizar seu lucro?

Passo 1

E aí, galerinha!

Nesse problema temos um fabricante que vende 1   000 aparelhos de televisão por semana, a $   450   cada. Em uma pesquisa de mercado foi visto que para cada $   10   de desconto oferecido ao comprador, o número de aparelhos vendidos aumenta 100   por semana.

A partir daí queremos determinar a função demanda, o desconto a companhia deveria oferecer ao comprador para maximizar sua receita e se sua função custo semanal for C x = 68   000 + 150 x , como o fabricante deveria escolher o tamanho do desconto para maximizar seu lucro.

Bastante coisa, não é? 👀

Vamos por partes...

Passo 2

A função inversa da demanda y = p ( x ) passa pelos pontos ( 1000,450 ) e ( 1100,440 ) , então, sua inclinação é

450 - 440 1000 - 1100 = - 1 10

logo, uma das fórmulas é a seguinte:

y - 450 = - 1 10 x - 1000

y = - 1 10 x + 550 = p ( x )

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

A função receita é calculada por

R x = x p x = - 1 10 x 2 + 550 x

Maximizando a receita:

R ' x = - 1 5 x + 550 = 0

1 5 x = 550

x = 2750

p 2750 = - 2750 10 + 550 = 275

O desconto deve ser:

450 - 275 = $ 175

Bacana, não é? 😁

Passo 4

Vamos maximizar o lucro fazendo:

P x = R x - C x

P ' x = R ' x - C ' x = 0

P ' x = - 1 5 x + 550 - 150 = 0

1 5 x = 400

x = 2000

Substituindo x em p x :

p 2000 = - 2000 10 + 550 = 350

Então, o desconto deve ser 450 - 350 = $ 100 .

E aí! o que achou? Responde Aí! 😇

Resposta

  1. p x = - 1 10 x + 550
  2. $ 175
  3. $ 100
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