Enunciado

Use multiplicação ou divisão de séries de potência para encontrar os três primeiros termos não nulos na série de Maclaurin para cada função.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a seguinte função:

y = e x l n ⁡ ( 1 + x )

Da tabela 1 apresentada nessa seção, temos que:

e x = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + …

E também que:

ln ⁡ 1 + x = x - x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + …

Passo 2

Dessa forma, podemos reescrever y como:

y = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + … x - x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + …

Simplificando a função e escrevendo os termos com grau menor que 3, obtemos:

e x ln ⁡ 1 + x = x - 1 2 x 2 + 1 3 x 3 + x 2 - 1 2 x 3 + 1 2 x 3 + …

Passo 3

Sendo assim, simplificando a expressão e juntando os termos em comum, temos:

y = e x ln ⁡ 1 + x = x + 1 2 x 2 + 1 3 x 3 + …

Resposta

y = e x ln ⁡ 1 + x = x + 1 2 x 2 + 1 3 x 3 + …

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