Enunciado

Use séries para aproximar a integral definida com a precisão indicada.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a integral:

∫ 0 0,4 1 + x 4 d x ,   ( e r r o < 5.10 - 6 )

Podemos reescrever a expressão dentro da integral como uma série binomial, sendo assim:

1 + x 4 = 1 + x 4 1 / 2 = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n x 4 n

Passo 2

Com isso, a integral é dada por:

∫ 1 + x 4 d x = C + ∑ n = 0 ∞ 1 2 n . x 4 n + 1 4 n + 1

Resolvendo a integral definida, obtemos:

I = ∫ 0 0,4 1 + x 4 d x = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n . ( 0,4 ) 4 n + 1 4 n + 1

Passo 3

Expandindo a série, temos:

= 1 0,4 1 0 ! + 1 2 1 ! . 0,4 5 5 + 1 2 - 1 2 2 ! . 0,4 9 9 + 1 2 - 1 2 - 3 2 3 ! . 0,4 13 13 + 1 2 - 1 2 - 3 2 - 5 2 4 ! . 0,4 17 17 + …  

= 0,4 + 0,4 5 10 - 0,4 9 72 + 0,4 13 208 - 5 0,4 17 2176 + …

Somando os dois primeiros termos, temos:

0,4 + 0,4 5 10 = 0,40102

O terceiro termo possui o valor de:

0,4 9 72 = 3,6 . 10 - 6

Sendo assim, para a precisão pedida no enunciado, esse termo já seria irrelevante, dessa forma, pelo teorema da estimativa das séries alternadas:

∫ 0 0,4 1 + x 4 d x = 0,40102

Resposta

∫ 0 0,4 1 + x 4 d x = 0,40102

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