Enunciado

13-18. Encontre uma fórmula para o termo geral a n da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.

18. 1 ,   0 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   0 …

Passo 1

Então galera, para encontrarmos uma expressão para o termo geral a n dessa sequência teremos que ser bastante analíticos! Se observarmos os termos que nos foram dados, notaremos que os números vão de 1 a -1, não é verdade? Opa, aqui tem algo interessante! Que função lá da trigonometria que varia de 1   a - 1 ? Sim, são as funções seno e cosseno! Se pensarmos em termos da função seno, teremos que ter algo do tipo:

s e n π 2

Uma vez que o primeiro termo da sequência é 1 . Mas queremos determinar uma expressão para o enésimo termo, não é mesmo? Sendo assim, basta multiplicarmos o argumento da função seno por n , se liga:

s e n n π 2

Então essa é a nossa expressão de a n :

a n = s e n n π 2  

Passo 2

Se houver dúvidas quanto a expressão, isto é, dúvidas se a expressão representa mesmo os termos do enunciado, vamos admitir alguns valores inteiros para n e ver se bate com o que temos, se liga:

Para n = 1 , temos:

a 1 = s e n   1 . π 2 = 1

Para n = 2 , temos:

a 2 = s e n   2 . π 2 = 0

Para n = 3 , temos:

a 3 = s e n   3 . π 2 = - 1

Para n = 4 , temos:

a 4 = s e n   4 . π 2 = 0

Sendo assim, fica provado que a expressão que descobrimos é, de fato, a resposta correta!

Resposta

a n = s e n n π 2

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Use um gráfico da sequência para decidir se ela é convergente ou divergente. Se a sequência for convergente, conjecture o valor do limite a partir do gráfico e então demonstre sua conjectura. a n = 1.
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Use um gráfico da sequência para decidir se ela é convergente ou divergente. Se a sequência for convergente, conjecture o valor do limite a partir do gráfico e então demonstre sua conjectura. a n = 3
Use um gráfico da sequência para decidir se ela é convergente ou divergente. Se a sequência for convergente, conjecture o valor do limite a partir do gráfico e então demonstre sua conjectura. a n = 1.