Enunciado

Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.

16) y = ∫ 1 x 4 cos ² ⁡ θ . d θ

Passo 1

Muito bem, vamos relembrar o Teorema Fundamental do Cálculo:

Beleza! Esta aqui é um pouquinho diferente, e para resolver teremos que fazer uma substituição:

u = x 4

Se queremos a derivada de y em função de x podemos usar a Regra da Cadeia:

d y d x = d y d u . d u d x

Então primeiro vamos derivar y em função de u:

d y d u = ∫ 1 u cos ² ⁡ θ . d θ

Neste caso vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, ok?

d y d u = cos ² ⁡ u

Substituindo u:

d y d u = cos ² ⁡ ( x 4 )

Agora nos falta achar d u d x :

d u d x = 4 x ³

Mas não é bem isso que queremos, certo? Vamos jogar tudo isso na Regra da Cadeia:

y ' = 4 x ³ . cos ² ⁡ ( x 4 )

Resposta

y ' = 4 x ³ . cos ² ⁡ ( x 4 )

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