Enunciado

Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e F → e G → forem campos vetoriais, então f F → , F → ⋅ G → e F → × G → serão definidos como:

f F → x , y , z = f x , y , z F → x , y , z

( F → ⋅ G → ) x , y , z = F → x , y , z ⋅ G → ( x , y , z )

( F → × G → ) x , y , z = F → x , y , z × G → ( x , y , z )

d i v   ∇ f × ∇ g = 0

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra mostrar essas identidades, vamos relembrar como é o gradiente de uma função escalar a :

∇ a = ∂ a ∂ x i → + ∂ a ∂ y j → + ∂ a ∂ z k →

Passo 2

Vamos ver agora o que o divergente de um vetor faz. O operador nabla, quando está com produto escalar com um vetor v → ( a , b , c ) qualquer opera assim ó:

∇ ⋅ v → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ a , b , c = ∂ ∂ x a + ∂ ∂ y b + ∂ ∂ z c

Lembrando que a derivada parcial é aquela que as outras variáveis contam como constante na hora da derivação!

Passo 3

Agora vamos calcular o produto vetorial ∇ f × ∇ g :

∇ f × ∇ g = i → j → k → ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ∂ f ∂ z ∂ g ∂ x ∂ g ∂ y ∂ g ∂ z = i → ∂ f ∂ y . ∂ g ∂ z - ∂ f ∂ z . ∂ g ∂ y + j → ∂ f ∂ z . ∂ g ∂ x - ∂ f ∂ x . ∂ g ∂ z + k → ∂ f ∂ x . ∂ g ∂ y - ∂ f ∂ y . ∂ g ∂ x

Passo 4

Agora vou aplicar o divergente nesse vetor que acabamos de calcular:

∇ ⋅ ∇ f × ∇ g = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y . ∂ g ∂ z - ∂ f ∂ z . ∂ g ∂ y + ∂ ∂ y ∂ f ∂ z . ∂ g ∂ x - ∂ f ∂ x . ∂ g ∂ z + ∂ ∂ z ∂ f ∂ x . ∂ g ∂ y - ∂ f ∂ y . ∂ g ∂ x

E como se não bastasse esse monte de coisa, ainda vamos aplicar a regra do produto nas derivadas parciais! Mas não te desespera! Tudo vai dar certo no final! É só ir com calma e fazer todos os passos direitinho =)

Aqui já vou adiantar uma propriedade das derivadas parciais mistas: elas independem da ordem de derivação! Ou seja: ∂ 2 a ∂ x ∂ y = ∂ 2 a ∂ y ∂ x !

Bora fazer as derivadas?

∇ ⋅ ∇ f × ∇ g = ∂ 2 f ∂ x ∂ y . ∂ g ∂ z + ∂ f ∂ y . ∂ 2 g ∂ x ∂ z - ∂ 2 f ∂ x ∂ z . ∂ g ∂ y - ∂ f ∂ z . ∂ 2 g ∂ x ∂ y + ∂ 2 f ∂ y ∂ z . ∂ g ∂ x + ∂ f ∂ z . ∂ 2 g ∂ y ∂ x - ∂ 2 f ∂ x ∂ y . ∂ g ∂ z - ∂ f ∂ x . ∂ 2 g ∂ z ∂ y + ∂ 2 f ∂ z ∂ x . ∂ g ∂ y + ∂ f ∂ x . ∂ 2 g ∂ z ∂ y - ∂ 2 f ∂ z ∂ y . ∂ g ∂ x - ∂ f ∂ y . ∂ 2 g ∂ x ∂ z

Agora vamos por partes. Enumerando os termos dentro dos colchetes do lado direito da equação de 1 a 12 , da esquerda para a direita, e levando em conta que as derivadas parciais mistas são iguais, os seguintes termos se cancelam:

1   e   7   ; 2   e   12 ; 5   e   11 ; 6   e   4 ; 9   e   3 e por fim 10   e   8

Não sobrou nenhum! Então o resultado disso fica:

∇ ⋅ ∇ f × ∇ g = 0

Pronto, exatamente a propriedade que queríamos demonstrar =D

Resposta

∇ ⋅ ∇ f × ∇ g

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Verificar se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo encontrar uma função potencial.d) f → = y 2 - 3 - y x 2 + x y i → + 1 x + y + 2 x y + 2 y j →
Calcule o rotacional. F → x , y , z =x i → + y j → + x z k →
Calcule o rotacional. F → x , y , z =- y i → + x j → + z k →
Seja φ :Ω ⊂ R 2 → R , Ω aberto, de classe C 2 . Verifique que o campo vetorial F → =∇ φ é irrotacional.
Calcule o rotacional. F → x , y , z = x 2 + y 2 i →