Enunciado

Use projeção escalar para mostrar que a distância de um ponto P 1 ( x 1 , y 1 ) à reta a x + b y + c = 0 é

a x 1 + b y 1 + c a 2 + b 2

Use essa fórmula para determinar a distância do ponto ( - 2,3 ) à reta 3 x - 4 y + 5 = 0

Passo 1

Vamos ilustrar essa situação. Imagine que a gente tenha um vetor n = ( a , b ) que seja perpendicular a nossa reta r cuja equação é dada aí no enunciado.

Daí vamos imaginar também que temos nosso ponto P 1 , que não está na reta e queremos justamente saber a distancia dele até a reta, e também um ponto P 2 , que está na reta, assim:

Se repararmos, a distancia d do ponto P 1 até a reta r é exatamente o valor da projeção escalar de P 1 P 2 → sobre n , que é dada por:

c o m p n   P 1 P 2 → = n ∙ P 1 P 2 → n

Passo 2

Vamos dar nome aos bois.

Vamos definir esse vetor P 1 P 2 → :

Se P 1 = ( x 1 , y 1 ) , então, P 2 = ( x 2 , y 2 ) , assim

P 1 P 2 → = x 2 , y 2 - x 1 , y 1 = ( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 )

E vamos definir o vetor n .

n = ( a , b )

Passo 3

Agora podemos fazer o produto escalar:

n ∙ P 1 P 2 → = a , b ∙ x 2 - x 1 , y 2 - y 1 = a x 2 - a x 1 + b y 2 - b y 1

E o módulo de n :

n = a 2 + b 2

Passo 4

Assim, temos

c o m p n   P 1 P 2 → = n ∙ P 1 P 2 → n = a x 2 - a x 1 + b y 2 - b y 1 a 2 + b 2

Da própria equação da reta, podemos tirar que

a x + b y + c = 0

a x + b y = - c

No ponto P 2 (que está na reta):

a x 2 + b y 2 = - c

Substituindo isso ali em cima:

c o m p n   P 1 P 2 → = n ∙ P 1 P 2 → n = - a x 1 - b y 1 - c a 2 + b 2

Ou seja,

c o m p n   P 1 P 2 → = n ∙ P 1 P 2 → n = | a x 1 + b y 1 + c | a 2 + b 2

Show de bola?!

Passo 5

Agora, para determinar a distância do ponto ( - 2,3 ) à reta 3 x - 4 y + 5 = 0 é só substituir ali na formula:

a x 1 + b y 1 + c a 2 + b 2

3 . - 2 - 4.3 + 5 3 2 + ( - 4 ) 2 = 13 5

Resposta

13 5

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