Enunciado

Seuponha que a e b sejam vetores não nulos.

  1. Sob quais circunstancias c o m p a   b = c o m p b   a ?
  2. Sob quais circunstancias p r o j a   b = p r o j b   a ?

Passo 1

a )

Sabemos que

c o m p a   b = a ∙ b a

E

c o m p b   a = b ∙ a b

Assim, para que os dois sejam iguais, temos que:

c o m p a   b = c o m p b   a

a ∙ b a = b ∙ a b

E para isso acontecer, temos que ou

a ∙ b = 0

Ou, como a ordem dos fatores não faz diferença para o produto escalar, podemos cortar esses produtos escalares, assim, a condição é que:

1 a = 1 b

a b = 1

a = | b |

Ou seja, a projeção escalar de um vetor sobre o outro ou do outro vetor sobre o um só é igual se os dois vetores forem perpendiculares ou se eles forem do mesmo tamanho.

Passo 2

b )

Sabemos que:

p r o j a   b = a ∙ b a a a

E

p r o j b   a = b ∙ a b b b

Assim, para que os dois sejam iguais, temos que:

p r o j a   b = p r o j b   a

a ∙ b a a a = b ∙ a b b b

a ∙ b ∙ a a 2 = b ∙ a ∙ b b 2

E para isso acontecer, temos que ou

a ∙ b = 0

Ou, como a ordem dos fatores não faz diferença para o produto escalar, podemos cortar esses produtos escalares, assim, a condição é que:

a a 2 = b b 2

| a | a 2 = | b | b 2

1 a = 1 b

a b = 1

a = | b |

Passo 3

Agora, substituindo esse ultimo resultado nessa equação aqui:

a ∙ b ∙ a a 2 = b ∙ a ∙ b b 2

A gente fica com

a ∙ b ∙ a a 2 = b ∙ a ∙ b a 2

Cortando a 2 :

a ∙ b ∙ a = b ∙ a ∙ b

E dai tiramos que ou

a ∙ b = 0

Ou

a = b

Ou seja, o vetor projeção de um vetor sobre o outro ou do outro vetor sobre o um só é igual se os dois vetores forem perpendiculares ou se eles forem iguais.

Resposta

a )

A projeção escalar de um vetor sobre o outro ou do outro vetor sobre o um só é igual se os dois vetores forem perpendiculares ou se eles forem do mesmo tamanho.

b )

O vetor projeção de um vetor sobre o outro ou do outro vetor sobre o um só é igual se os dois vetores forem perpendiculares ou se eles forem iguais.

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