Enunciado

Use a Propriedade 8 para estimar o valor da integral.

∫ 1 2 1 x d x

Passo 1

A Propriedade 8 do livro diz respeito ao teorema do valor médio para integrais. O teorema diz que se temos uma função contínua num intervalo [ a ,   b ] , e essa função dentro do intervalo tem valor máximo M e valor mínimo m , então:

m b - a ≤ ∫ a b f x d x ≤ M ( b - a )

Entao podemos resolver o problema encontrando os valores máximo e mínimo absoluto da função no intervalo e aplicando o teorema. Saberemos então entre que valores está a integral.

Passo 2

Temos a função f x = 1 / x no intervalo 1 ,   2 . A função 1 / x tem derivada - 1 / x 2 , o que quer dizer que ela é sempre decrescente. Isso significa que o valor máximo da função ocorre no início do intervalo e o valor mínimo no final. Temos então os valores de m e M :

m = 1 2

M = 1 1 = 1

Aplicando então o teorema:

1 2 2 - 1 ≤ ∫ 1 2 1 x d x ≤ 1 ( 2 - 1 )

⇒ 1 2 ≤ ∫ 1 2 1 x d x ≤ 1

Sabemos então que a integral está entre esses dois valores.

Resposta

1 2 ≤ ∫ 1 2 1 x d x ≤ 1

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