Enunciado

Use as propriedades das integrais, junto com os exercícios 27 e 28 , para demonstrar a desigualdade.

∫ 0 π 2 x sen ⁡ x   d x ≤ π 2 8

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema queremos mostrar que a desigualdade

∫ 0 π 2 x sen ⁡ x   d x ≤ π 2 8

É valida.

Tem ideia de como fazemos isso?

Sabemos que em 0 ≤ x ≤ π 2 o seno respeita 0 ≤ sen ⁡ x ≤ 1 .

Se multiplicarmos a última inequação por x de modo que se x ≥ 0 , não temos problema com o sinal, obtemos:

0 ≤ x sen ⁡ x ≤ x

Vamos usar essas informações a nosso favor.

Veja só!

Passo 2

Então se x sen ⁡ x ≤ x , podemos aplicar a integração:

x sen ⁡ x ≤ x

∫ 0 π 2 x sen ⁡ x   d x ≤ ∫ 0 π 2 x   d x

Calculando a integral no lado direito

∫ 0 π 2 x sen ⁡ x   d x ≤ x 2 2 0 π 2

∫ 0 π 2 x sen ⁡ x   d x ≤ π 2 2 2 = π 2 π 2 1 2

∫ 0 π 2 x sen ⁡ x   d x ≤ π 2 8

E assim, demonstramos que ∫ 0 π 2 x sen ⁡ x   d x ≤ π 2 8 .

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

∫ 0 π 2 x sen ⁡ x   d x ≤ π 2 8

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

22. ( Continuação do Exercício 21.)a. Inscreva um polígono regular de n lados dentro de um círculo de raio 1 e calcule a área de um dos n triângulos congruentes formados pelos raios que cruzam os vért
19. Poluição da água Há um vazamento de combustível em um petroleiro avariado no mar. A tabela a seguir mostra que a avaria apresenta uma piora, pois o vazamento aumenta a cada hora.a. Superestime e s
Seja f : 0,1 → R dada por f ( x ) = 0s ex∉0 , 1 2 , 11s ex∈0 , 1 2 , 1 Prove que f é integrável em [ 0,1 ] e que ∫ 0 1 f ( x ) d x = 0
Seja f : 0,1 → R dada por f ( x ) = xs ex∈Q0s ex∉Q Verifique que se os c i forem racionais ∑ i = 1 n f c i △ x i tende a 1 2 , quando m a x△ x→ 0 .Prove que f não é integrável em 0,1 .
38. Prove que a função maior inteiro é descontínua em [ 0 , 3 2 ] e mesmo assim é integrável nesse intervalo. Mostre também que ∫ 0 3 / 2 x d x = 1 2