Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.7 - Ex. 8
Uma caixa de tampa deve ser construída a partir de um pedaço quadrado de papelão, com pés de largura, cortando fora um quadrado de cada um dos quatro cantos e dobrando para cima os lados. Encontre o aior volume que essa caixa poderá ter.
(a) Faça vários diagramas para ilsutrar a situação, algumas caixas pequenas com bases grandes e outras altas com base pequena. Encontre os volumes de várias dessas caixas. Parece existir um volume máximo? Se a resposta for sim, estime-o.
(b) Faça um diagrama ilustrando a situação geral. Introduza a notação e marque no diagrama seus símbolos.
(c) Escreva uma expressão para o volume.
(d) Use a informação dada para escrever uma equação que relacione as variáveis.
(e) Use a parte (d) para escrever o volume como uma função de uma só variável.
(f) Acabe de resolver o problema e compare sua resposta com a sua estimativa da parte (a).
Passo 1
Vamos começar fazendo desesnhos de dois tipos de caixas: uma alta a estreita, uma baixa e larga, e uma mais equilibrada. Todas elas vão ser recortadas de um papelão quadrado com pés de lado:
Essa caixa tem volume . Lembrando que é o símbolo para “pés”.
Essa caixa tem volume
E essa caixa tem volume .
Então, pelas nossas simulações, o volume máximo deve ser de pelo menos pés cúbicos.
Passo 2
(b) Agora vamos fazer um diagrama que ilustre a situação geral:
(c) Então a fórmula para o volume da caixa é:
Passo 3
(d) O enunciado diz que o lado do quadrado de onde a caixa é recortada mede pés. Então podemos escrever o seguinte:
(d) E podemos usar isso para reescrever a nossa equação para o volume:
Passo 4
(e) Agora vamos encontrar os pontos extremos dessa função:
Podemos resolver essa equação do segundo grau:
E as duas raízes são e .
Vamos substituir na função para encontrar o volume associado a cada uma dessas raízes:
Começando pela raiz
E agora :
Então o valor máximo do volum é , o que coincide com a estimativa que fizemos no item (a).
Resposta
(a) O volume máximo deve ser de pelo menos .
(b) Ver diagrama.
(c) O volume pode ser escrito como . Onde e estão indicados no diagrama.
(d) Pelas informações do enunciado, podemos dizer que .
(e) O volume pode ser escrito como .
(f) O volume máximo é .
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