Enunciado

Uma caixa de tampa deve ser construída a partir de um pedaço quadrado de papelão, com 3 pés de largura, cortando fora um quadrado de cada um dos quatro cantos e dobrando para cima os lados. Encontre o aior volume que essa caixa poderá ter.

(a) Faça vários diagramas para ilsutrar a situação, algumas caixas pequenas com bases grandes e outras altas com base pequena. Encontre os volumes de várias dessas caixas. Parece existir um volume máximo? Se a resposta for sim, estime-o.

(b) Faça um diagrama ilustrando a situação geral. Introduza a notação e marque no diagrama seus símbolos.

(c) Escreva uma expressão para o volume.

(d) Use a informação dada para escrever uma equação que relacione as variáveis.

(e) Use a parte (d) para escrever o volume como uma função de uma só variável.

(f) Acabe de resolver o problema e compare sua resposta com a sua estimativa da parte (a).

Passo 1

Vamos começar fazendo desesnhos de dois tipos de caixas: uma alta a estreita, uma baixa e larga, e uma mais equilibrada. Todas elas vão ser recortadas de um papelão quadrado com 3 pés de lado:

Essa caixa tem volume V = 1 1 1 = 1   f t 3 . Lembrando que f t é o símbolo para “pés”.

Essa caixa tem volume V = 3 2 3 2 3 4 = 1,6875   f t 3

E essa caixa tem volume V = 2 2 1 2 = 2   f t 3 .

Então, pelas nossas simulações, o volume máximo deve ser de pelo menos 2 pés cúbicos.

Passo 2

(b) Agora vamos fazer um diagrama que ilustre a situação geral:

(c) Então a fórmula para o volume da caixa é:

V = A b a s e × A l t u r a

V = x 2 y

Passo 3

(d) O enunciado diz que o lado do quadrado de onde a caixa é recortada mede 3 pés. Então podemos escrever o seguinte:

x + 2 y = 3,0

(d) E podemos usar isso para reescrever a nossa equação para o volume:

V = x 2 y

V = 3,0 - 2 y 2 ( y )

V = 9 - 12 y + 4 y 2   y

V = 9 y - 12 y 2 + 4 y 3

Passo 4

(e) Agora vamos encontrar os pontos extremos dessa função:

V ' y = 0

V ' y = d d y 9 y - 12 y 2 + 4 y 3

V ' y = 12 y 2 - 24 y + 9

Podemos resolver essa equação do segundo grau:

y = 24 ± 24 2 - ( 4 ) ( 12 ) ( 9 ) ( 2 ) ( 12 )

y = 24 ± 12 24 = 1 ± 1 2

E as duas raízes são y = 3 2 e y = 1 2 .

Vamos substituir na função para encontrar o volume associado a cada uma dessas raízes:

V = 3,0 - 2 y 2 ( y )

Começando pela raiz y = 3 / 2 :

V 3 2 = 3 - 2 3 2 2 3 2 = 0

E agora y = 1 / 2 :

V 1 2 = 3 - 2 1 2 2 1 2 = 2   f t 3

Então o valor máximo do volum é 2   f t 3 , o que coincide com a estimativa que fizemos no item (a).

Resposta

(a) O volume máximo deve ser de pelo menos 2   f t 3 .

(b) Ver diagrama.

(c) O volume pode ser escrito como V = ( x 2 ) ( y ) . Onde x e y estão indicados no diagrama.

(d) Pelas informações do enunciado, podemos dizer que x + y = 3,0   p é s .

(e) O volume pode ser escrito como V = 3,0 - 2 y 2 ( y ) .

(f) O volume máximo é V = 2   f t 3 .

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