Enunciado

Dê uma estimativa para a área entre o gráfico da função f e o intervalo [ a ,   b ] . Use um esquema de aproximação com n retângulos, análogo ao desenvolvido nesta seção para a função f ( x ) = x 2 . Se seu recurso computacional efetuar somatórios automaticamente, estime a área especificada usando n = 10 ,   50   e   100 retângulos. Caso contrário, estime a área usando n = 2 ,   5   e   10 retângulos.

f x = 1 - x 2 ; a , b = [ - 1 , 1 ]

Passo 1

Usaremos o método dos retângulos para calcular a área, começando por subdividir o intervalos [ - 1 , 1 ] em n subintervalos iguais, cada um com um comprimento de 1 n , assim,as extremidades serão:

- 1 , - 1 + 2 n , - 1 + 4 n ,   …   , - 1 + 2 n - 1 n , 1

Passo 2

Agora, tendo a área do triangulo, a base de todos eles vai ser 1 n , uma vez que dividimos o intervalo de tamanho 1 em 1 n . Já a altura vai ser o f ( x ) naquele ponto, logo:

1 - n - 2 n 2 + 1 - n - 4 n 2 + …   + 1 - n - 2 n 2 + 0

Como todas as bases dos retângulos são iguais, então a área total é:

A t o t a l = 1 - n - 2 n 2 + 1 - n - 4 n 2 + …   + 1 - n - 2 n 2 2 n

Passo 3

Considerando que para calcularmos a área total, temos:

A t o t a l = 1 - n - 2 n 2 + 1 - n - 4 n 2 2 n

substituindo esses valores para n = 2 ,   5 ,   10 ,   50 ,   100 , então teremos:

Prontinho!!

Resposta

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Use o método no Exemplo 4a para calcular as integrais definidas nos Exercícios 63-70.63. ∫ a b c d x
Que valores de a e b minimizam o valor de: ∫ a b ( x 4 - 2 x 2 ) d x
A desigualdade sec ⁡ x ≥ 1 + x ² 2 ² vale em - π 2 ,π 2 . Use-a para determinar um limitante inferior para o valor de ∫ 0 1 sec ⁡ x d x .
Seria bom se as médias dos valores das funções integráveis obedecessem às regras a seguir em um intervalo [ a ,b ] . Será que essas regras são válidas? Justifique sua resposta.b. M é d i a k f = k . M
73. Use a desigualdade max-min e determine os limites superior e inferior para o valor de: ∫ 0 1 1 1 + x ² d x ²