Enunciado

Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade sem calcular as integrais.

2 ≤ ∫ - 1 1 1 + x 2   d x ≤ 2 2

Passo 1

Seja f x = 1 + x 2 em um intervalo - 1 ≤ x ≤ 1 temos que o valor de f x = f - x pois f é uma função par e possui valor máximo em x = ± 1 em que f ± 1 = 2 e valor mínimo em x = 0 em que f 0 = 1 .

Pela propriedade 8 do livro-texto, se tivermos uma função f ( x ) contínua em um intervalo a , b com um máximo absoluto M e um mínimo absoluto m , então a área do gráfico de f é menor ou igual que a área do retângulo de altura M e maior ou igual que o retângulo de altura m .

Passo 2

Em termos matemáticos, isso quer dizer que:

m b - a ≤ ∫ a b f x d x   ≤ M b - a

Se tomarmos no caso da questão, a = - 1 e b = 1 de modo que b - a = 1 - - 1 = 2 então:

2 m ≤ ∫ - 1 1 f x d x   ≤ 2 M

Passo 3

Pelo o valor mínimo de f é m = 1 assim como o valor máximo é M = 2 temos:

2 ( 1 ) ≤ ∫ - 1 1 f x d x   ≤ 2 2

Lembrando que f x = 1 + x 2 , mostramos que:

2 ≤ ∫ - 1 1 1 + x 2   d x ≤ 2 2

Resposta

A desigualdade é verdadeira.

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