Enunciado

Use qualquer método para encontrar a área da região delimitada pelas curvas.

y = 1 25 - 16 x 2 ,     y = 0 ,     x   = 0 ,     x = 1

Passo 1

Para calcular a região entre curvas precisamos montar a integral:

A = ∫ a b f m a i o r - f m e n o r d x

E achar o valor dela. Vamos lá!

Passo 2

Vamos olhar nossa região em um gráfico:

Vemos que a função maior é y = 1 25 - 16 x 2 , a menor é y = 0 , e temos os extremos de integração:

a = 0 ,     b = 1

Nossa integral fica então com essa carinha:

A = ∫ 0 1 1 25 - 16 x 2 d x

Passo 3

Agora é só calcular. Podemos tentar usar a Fórmula 69 da tabela de integrais:

∫ d u a 2 - u 2 = 1 2 a ln ⁡ u + a u - a + C

Mas primeiro, fazemos uma substituição:

u = 4 x

d u d x = 4 ∴ d u 4 = d x

Mas repara que nossos limites de integração também vão mudar:

u 1 = 4 ⋅ 0 = 0

u 2 = 4 ⋅ 1 = 4

Reescrevendo nossa integral:

A = 1 4 ∫ 0 4 d u 5 2 - u 2

Fazendo a = 5 :

A = 1 4 ∫ 0 4 d u 5 2 - u 2 = 1 40 ln ⁡ u + 5 u - 5   ​ 0 4

Fazendo essas continhas, temos que:

A = 1 40 ln ⁡ 9 = 0,05493

Prontinho!

Resposta

A = 0,05493

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