Enunciado

Use qualquer método para encontrar a área da região delimitada pelas curvas.

y = x ln ⁡ x ,     y = 0 ,     x   = 4

Passo 1

Para calcular a região entre curvas precisamos montar a integral:

A = ∫ a b f m a i o r - f m e n o r d x

E achar o valor dela. Vamos lá!

Passo 2

Vamos olhar nossa região em um gráfico:

Vemos que a função maior é y = x ln ⁡ x , a menor é y = 0 , e temos os extremos de integração:

b = 4

E o outro extremo é a interseção entre é y = x ln ⁡ x e y = 0 , dá até para ver no gráfico. Saca só:

0 = x ln ⁡ x ∴ x = 1 = a

Nossa integral fica então com essa carinha:

A = ∫ 1 4 x ln ⁡ x d x

Passo 3

Agora é só calcular. Podemos tentar usar a Fórmula 50 da tabela de integrais:

∫ u n ln ⁡ u d u = u n + 1 n + 1 2 [ n + 1 ln ⁡ u - 1 ] + C

Reescrevendo nossa integral:

A = ∫ 1 4 x 1 2 ln ⁡ x d x

Fazendo n = 1 2 ,   u = x :

A = ∫ 1 4 x 1 2 ln ⁡ x d x = 4 9 x 3 2 3 2 ln ⁡ x - 1 ​ 0 1

Fazendo essas continhas, temos que:

A = 4,28245

Prontinho!

Resposta

A = 4,28245

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