Enunciado

Use qualquer método para encontrar o comprimento de arco da curva.

y = 3 ln ⁡ x ,     1 ≤ x ≤ 3

Passo 1

Para calcular o comprimento do arco de uma função de x , podemos montar a integral:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

E achar o valor dela. Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar pelos extremos de integração. O enunciado já disse o intervalo para a gente, então:

a = 1 ,     b = 3

A gente tem que:

f x = 3 ln ⁡ x

Precisamos derivar, e depois elevar ao quadrado:

f ' x = 3 x

f ' x 2 = 9 x 2

Nossa integral fica então com essa carinha:

L = ∫ 1 3 1 + 9 x 2 d x

Podemos arrumar um pouco para ficar bonito. Fazendo o mmc dentro da raiz:

L = ∫ 1 3 x 2 + 9 x 2 d x = ∫ 1 3 x 2 + 3 2 x d x

Passo 3

Agora é só calcular. Podemos tentar usar a Fórmula 89 da tabela de integrais:

∫ u 2 + a 2 u   d u   = u 2 + a 2 - a ln ⁡ a + u 2 + a 2 u + C

Fazendo x = u , a = 3 :

L = ∫ 1 3 x 2 + 3 2 x d x = x 2 + 3 2 - 3 ln ⁡ 3 + x 2 + 3 2 x ​ 1 3

Fazendo essas continhas, temos que:

L = 3,89158

Prontinho!

Resposta

L = 3,89158

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Em cada parte, use um CAS para resolver o problema de valor inicial. a d y d x = x 2 cos ⁡ 3 x , y π 2 = - 1 b d y d x = x 3 4 + x 2 3 / 2 , y 0 = - 2
Faça uma crítica da “demosntração” seguinte de que toda constante de integração é nula. C = ∫ 0d x = ∫ 0 ⋅ 0d x = 0 ∫ 0d x = 0
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