Enunciado

Use qualquer método para encontrar o volume do sólido gerado quando a região delimitada pelas curvas gira em torno do eixo y .

y = x - 4 ,     y = 0 ,     x   = 8

Passo 1

Para calcular o volume de um sólido obtido pela rotação de uma região descrita por funções de x em torno do eixo y , podemos montar a integral:

V = ∫ a b 2 π x f ( x ) d x

E achar o valor dela. Vamos lá!

Passo 2

Temos que a raiz é sempre positiva, então podemos dizer que:

f x = x - 4

Para achar um dos extremos de integração, precisamos fazer a interseção entre os gráficos de y = x - 4 e y = 0 :

x - 4 = 0 ∴ x = 4 = a

E o outro está no enunciado:

x = 8 = b

Nossa integral fica então com essa carinha:

V = ∫ 4 8 2 π x   x - 4 d x

Passo 3

Agora é só calcular. Podemos tentar usar a Fórmula 102 da tabela de integrais:

∫ u a + b u   d u = 2 15 b 2 3 b u - 2 a a + b u 3 2 + C

Fazendo   u = x ,     a = - 4 ,     b = 1 :

V = 2 π ∫ 4 8 2 π x   x - 4 d x = 4 π 15 3 x + 8 - 4 + x 3 2 ​ 4 8

Fazendo essas continhas, temos que:

V = 1024 π 15 ≈ 214,46

Prontinho!

Resposta

V = 1024 π 15 ≈ 214,46

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva os problemas de valor inicial. d y d x = x 2 x 3 , y 0 = 0
Uma partícula move-se ao longo de um eixo s com função posição s = s ( t ) e função velocidade v t = s ' ( t ) . Use a informação dada para encontrar s ( t ) . v t = cos ⁡ t ; s 0 = 2
Resolva os problemas de valor inicial. d y d x = 4 e x , y 0 = 1
Uma partícula move-se ao longo de um eixo s com função posição s = s ( t ) e função velocidade v t = s ' ( t ) . Use a informação dada para encontrar s ( t ) . v t = 3 t ; s 4 = 1
Encontre uma equação da curva que satisfaz as condições dadas.Em cada ponto ( x ,y ) da curva, a inclinação é - sin ⁡ x ; a curva passa pelo ponto ( 0 ,2 ) .