Enunciado

Use qualquer método para encontrar o volume do sólido gerado quando a região delimitada pelas curvas gira em torno do eixo y .

y = ln ⁡ x ,     y = 0 ,     x   = 5

Passo 1

Para calcular o volume de um sólido obtido pela rotação de uma região descrita por funções de x em torno do eixo y , podemos montar a integral:

V = ∫ a b 2 π x f ( x ) d x

E achar o valor dela. Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar pelos extremos de integração. Para achar um deles, podemos fazer a interseção entre y = ln ⁡ x e y = 0 :

ln ⁡ x = 0 ∴ x = 1 = a

E o outro o enunciado diz:

x = 5 = b

Como esse logaritmo é positivo no intervalo [ 1,5 ] , podemos dizer que:

f x = ln ⁡ x

Nossa integral fica então com essa carinha:

V = ∫ 1 5 2 π x ln ⁡ x d x

Passo 3

Agora é só calcular. Podemos tentar usar a Fórmula 50 da tabela de integrais:

∫ u n ln ⁡ u   d u = u n + 1 n + 1 2 n + 1 ln ⁡ u - 1 + C

Como n = 1 ,   x = u , nossa integral fica:

V = 2 π ∫ 1 5 x ln ⁡ x d x = x 2 π 2 2 ln ⁡ x - 1 ​ 1 5

Fazendo essas continhas, temos que:

V = 25 2 π 2 ln ⁡ 5 - 1 + π 2 ≈ 88,7058

Prontinho!

Resposta

V = 88,7058

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