Enunciado

Use qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.

33. ∑ n = 1 ∞ - 9 n n 1 0 n + 1

Passo 1

Como a gente tem uma razão, em que tanto o numerador quanto o denominador têm potencias de n , seria bom a gente usar o teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Já que muita coisa da pra simplificar. Se o L < 1 , a série converge absolutamente, se o L > 1 a série diverge, e se L = 1 o teste da razão no diz nada pra gente.

Na nossa série ele fica o seguinte:

L = lim n → ∞ ⁡ - 9 n + 1 ( n + 1 ) 1 0 n + 2 - 9 n n 1 0 n + 1 = l i m n → ∞ - 9 n + 1 ( n + 1 ) 1 0 n + 2 n 1 0 n + 1 - 9 n

Passo 2

Vamos agora simplificar as coisas para podermos aplicar o limite, cortando o - 9 n e o 1 0 n + 1 , sobra:

L = l i m n → ∞ ( - 9 ) ( n + 1 ) 10 n 1 = l i m n → ∞ - 9 n 10 ( n + 1 )

Tirando do módulo, o sinal negativo sai:

L = l i m n → ∞ 9 n 10 ( n + 1 )

Como ainda temos uma indeterminação, vamos colocar n em evidência no denominador para simplifcarmos:

L = l i m n → ∞ 9 n 10 n ( 1 + 1 / n ) = l i m n → ∞ 9 10 ( 1 + 1 / n )

Passo 3

Aplicando o limite, o termo 1 / n   tende pra zero, e só sobra:

L = 9 10

Que é menor que 1, então nossa série é absolutamente convergente.

Resposta

A b s o l u t a m e n t e   c o n v e r g e n t e

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