Enunciado

Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.

13. ∑ n = 1 ∞ 10 n n + 1 4 2 n + 1

Passo 1

Vamos usar o teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Sendo a n = 10 n n + 1 4 2 n + 1 , que é a sequência da nossa serie. Se L > 1 , a série é divergente, e se   L < 1 , ela é convergente.

Aplicando ele, L fica:

L = lim n → ∞ ⁡ 10 n + 1 n + 2 4 2 ( n + 1 ) + 1 10 n n + 1 4 2 n + 1 = l i m n → ∞ 10 n + 1 n + 2 4 2 n + 3 n + 1 4 2 n + 1 10 n

Então simplificamos 4 2 n + 1 e o 10 n :

L = l i m n → ∞ 10 n + 2 4 2 n + 1 1 = l i m n → ∞ 10 n + 1 n + 2 4 2

Tirando do módulo:

L = l i m n → ∞ 10 n + 1 16 n + 2

Passo 2

E agora resolvemos o limite, como do jeito que está irá dar uma indeterminação, vamos colocar o n em evidência:

L = l i m n → ∞ 10 n 1 + 1 n 16 n 1 + 2 n

E simplificar ele:

L = l i m n → ∞ 10 1 + 1 n 16 1 + 2 n

Passo 3

Agora sim podemos aplicar o limite, os termos que estão sobre n tendem para zero e sobra só:

L = 10 1 16 1 = 10 16

Como L < 1 , a série converge absolutamente, e podemos dizer que ela é convergente.

Resposta

C o n v e r g e n t e

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