Enunciado

Use um recurso gráfico computacional, quando necessário, para encontrar a área da região englobada pelas curvas.

y = x e x 2 , y = 2 | x |

Passo 1

Para encontrar a região englobada por curvas, precisamos analisar a região dada e montar a integral:

A = ∫ a b f m a i o r - f m e n o r d x

Ou

A = ∫ c d g m a i o r - g m e n o r d y

E calculá-la. Vamos lá!

Passo 2

Vamos usar um recurso gráfico para esboçar nossa região:

A gente percebe que como temos funções que variam em x , é melhor montarmos a integral em relação a esse eixo.

Outra coisa que vemos é que a região que precisamos encontrar a área está somente no primeiro quadrante, onde temos somente x > 0 , o que diz para gente que podemos esquecer do módulo e usar só y = 2 x ,como nossa função maior e y = x e x 2 , como nossa função menor.

A integral fica com essa carinha:

A = ∫ x 1 x 2 2 x - x e x 2   d x

Passo 3

Precisamos descobrir os nossos extremos de integração x 1 e x 2 . Como? Achando os valores de x para a interseção entre essas duas curvas.

y = 2 x ,     y = x e x 2

2 x = x e x 2

Calma! Antes de cortar o x , temos que x = 0 é uma solução.

E resolvendo a equação, isolando esse x no expoente:

2 = e x 2

x = l n 2

Como x 1 < x 2 pela forma que montamos a integral, temos que:

x 1 = 0 ,   x 2 = l n 2

Nossa integral fica:

A = ∫ 0 l n 2 2 x - x e x 2   d x

Passo 4

Agora é só calcular a integral:

A = ∫ 0 l n 2 2 x - x e x 2   d x = ∫ 0 l n 2 2 x   d x - ∫ 0 l n 2 x e x 2   d x

Vamos chamar u = x 2 , d u = 2 x d x ∴ d u 2 = x d x para resolver a última integral:

∫ e u 2 d u = e u 2 = e x 2 2

Nossa área fica:

A = x 2 - e x 2 2 ​ 0 l n 2 = ln ⁡ 2 - 1 + 1 2 = ln ⁡ 2 - 1 2

Resposta

A = ln ⁡ 2 - 1 2

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