Calcule a integral:

∫ c o t g 3 x d x

Passo 1

Precisamos calcular essa integral aí.

É bom a gente pensar em fazer aparecer nas integrais com cotangente, a amiga dela, a cossecante, para conseguirmos usar as integrais que a gente conhece. Para fazer isso no nosso caso, podemos lembrar que:

c o t g 2 x = c o s s e c 2 x - 1

E reescrevendo nossa integral:

∫ c o t g 3 x d x = ∫ c o t g 2 x   c o t g   x   d x = ∫ c o s s e c 2   x - 1 c o t g   x   d x = ∫ c o s s e c 2 x   c o t g   x   d x - ∫ c o t g   x   d x

Agora é resolver cada uma dessas integrais.

Passo 2

Resolvendo a primeira:

∫ c o s s e c 2 x   c o t g   x d x

Podemos chamar:

u = c o t g   x

d u d x = - c o s s e c 2 x ∴ - d u = c o s s e c 2 x   d x

Nossa integral fica:

∫ - u   d u = - u 2 2

Voltando para x :

∫ c o s s e c 2 x   c o t g   x d x = - c o t g 2   x 2

Passo 3

Resolvendo a segunda, podemos dizer que:

∫ c o t g   x   d x = ∫ cos ⁡ x s e n   x d x

Vamos chamar:

u = s e n   x

d u d x = cos ⁡ x ,   d u = cos ⁡ x d x

Nossa integral fica:

∫ 1 u d u = ln ⁡ u

Voltando para x :

∫ c o t g   x d x = ln ⁡ s e n   x

Passo 4

Agora é só somar tudo, sem esquecer da constante de integração:

∫ c o t g 3 x d x = - c o t g 2 x 2 - ln ⁡ s e n   x + C

Resposta

∫ c o t g 3 x d x = - c o t g 2 x 2 - ln ⁡ s e n   x + C

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