Enunciado

1-6. Use a Regra da Cadeia para achar (d z)/(d t) ou (d w)/(d t) .

2. z = (x - y)/(x + 2 y) , x = e^(pi t) , y = e^(- pi t)

Passo 1

Para encontrarmos (d z)/(d t) , de acordo com a seção 14.5 do Stewart, temos que utilizar a regra da cadeia no seguinte formato:

(d z)/(d t) = (del z)/(del x) (d x)/(d t) + (del z)/(del y) (d y)/(d t)

Derivando, teremos:

(del z)/(del x) = (1 . (x + 2 y) - (x - y) . 1)/((x + 2 y)^2) = (3 y)/((x + 2 y)^2)

(d x)/(d t) = pi e^(pi t)

(del z)/(del y) = (- 1 . (x + 2 y) - (x - y) . 2)/((x + 2 y)^2) = (- 3 x)/((x + 2 y)^2)

(d y)/(d t) = - pi e^(- pi t)

Passo 2

Agora que achamos todas as derivadas que queríamos, substituindo os resultados na regra da cadeia, obteremos:

(d z)/(d t) = (3 y)/((x + 2 y)^2) . pi e^(pi t) + (3 x)/((x + 2 y)^2) . pi e^(- pi t)

:. (d z)/(d t) = (3 pi e^(- pi t))/((x + 2 y)^2) (y e^(2 pi t) + x)

Resposta

(d z)/(d t) = (3 pi e^(- pi t))/((x + 2 y)^2) (y e^(2 pi t) + x)

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7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .7. z = x - y 5 ,x = s 2 t ,y = s t ² ²
1-6. Use a Regra da Cadeia para achar (d z)/(d t) ou (d w)/(d t) .5. w = x e^((y)/(z)) , x = t^2 , y = 1 - t , z = 1 + 2 t
1-6. Use a Regra da Cadeia para achar (d z)/(d t) ou (d w)/(d t) .6. w = ln sqrt(x^2 + y^2 + z ²) , x = s e n t , y = cos t , z = tan t ²
21-26. Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas .21. z = x 4 + x 2 y ,x = s + 2 t - u ,y = s t u 2 ; ∂ z ∂ s ;∂ z ∂ t ;∂ z ∂ u ,q u a n d os = 4 ,t = 2 ,u = 1