Enunciado

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital.

lim x → π 2 ⁡   x c o t g x - π 2 cos ⁡ x

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir x = π 2 para ver se isso já resolve o limite. Então vamos lá!

L = lim x → π 2 ⁡   π 2 c o t g π 2 - π 2 cos ⁡ π 2

Assim,

L = π 2 0 - π 2 × 0

Logo,

L = ∞ - ∞

Como chegamos numa indeterminação, vamos ter que dar uma mexida no nosso limite!

Passo 2

L = lim x → π 2 ⁡   x c o t g x - π 2 cos ⁡ x

Como c o t g x = cos ⁡ x s e n x :

L = lim x → π 2 ⁡   x s e n x cos ⁡ x - π 2 cos ⁡ x

Deixando tudo no mesmo denominador:

L = lim x → π 2 ⁡   2 x s e n x - π 2 cos ⁡ x

Fazendo x = π 2 :

L = lim x → π 2 ⁡   2 × π 2 × 1 - π 2 × 0 → L = 0 / 0

Opa, chegamos numa indeterminação do tipo 0 / 0 . Então vamos aplicar a regra de L’Hospital

Passo 3

Pela regra de L’Hospital, podemos derivar em cima e embaixo que o limite continua o mesmo.

L = lim x → π 2 ⁡   2 x s e n x - π 2 cos ⁡ x

Derivando,

L = lim x → π 2 ⁡   2 x s e n x ' 2 - s e n x

No numerador vamos usar a regra do produto, olha só:

2 x s e n x ' = 2 s e n x + 2 x c o s x

Então o limite fica o seguinte:

L = lim x → π 2 ⁡   2 s e n x + 2 x c o s x - 2 s e n x

Simplificando:

L = lim x → π 2 ⁡ - s e n x + x c o s x s e n x

Passo 4

Pra finalizar, basta fazermos x = π / 2 !

L = - s e n π 2 + π 2 × c o s π 2 s e n π 2

Substituindo os valores:

L = - 1 + π 2 × 0 1

Portanto,

L = - 1

Resposta

L = - 1

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Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → ∞ ⁡ x 2 + x - x
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → 1 ⁡ x x - 1 - 1 ln
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → ∞ ⁡ x - ln ⁡ x
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → ∞ ⁡ 1 + 3 x + 5 x
(a) Use um CAS para mostrar que, se k for uma constante positiva, então lim x → + ∞ ⁡ xk 1 x - 1 = ln ⁡ k (b) Confirme esse resultado usando a regra de L’Hôpital. [Sugestão: Expresse o limite em termo