Enunciado

Use a regra de Simpson com n = 10 para aproximar a área da superfície obtida através da rotação da curva ao redor do eixo x . Compare sua resposta com o valor da integral obtida com uma calculadora.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a função:

y = x e x ,   0 ≤ x ≤ 1

Conforme vimos nessa seção do livro, a área da superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo x é dada por:

S = ∫ 2 π y d s

E, tendo:

d s = 1 + d y d x 2 d x

Substituindo d s na equação anterior:

S = ∫ 2 π y 1 + d y d x 2 d x

E, pela regra de Simpson, podemos aproximar o valor da integral fazendo:

f x = 2 π y 1 + d y d x 2 d x

E, tendo n = 10 , o intervalo será dividido em 10 partes, como 0 ≤ x ≤ 1 :

Δ x = 1 - 0 10 = 0,1

Passo 2

Então já sabemos o que precisamos calcular, o valor da derivada de y , lembrando de aplicar a regra do produto, temos:

y ' = x e x + e x

Substituindo esse valor na fórmula da área de superfície encontrada no passo 1:

S = ∫ 0 1 2 π x e x 1 + x e x + x 2 d x

Dessa forma, f x será:

f x = 2 π x e x 1 + x e x + x 2

Passo 3

Agora ficou fácil, podemos aproximar essa integral, separando o intervalo em 10 partes, com incremento de 0,1 conforme visto no passo 1 da seguinte forma:

S ≅ S 10 = 0,1 3 f 0 + 4 f 0,1 + 2 f 0,2 + 4 f 0,3 + 2 f 0,4 + 4 f 0,5 + 2 f 0,6 + 4 f 0,7 + 2 f 0,8 + 4 f 0,9 + f 1

Calculando os valores, temos:

f 0 = 0 ; f 0,1 = 0,709 ; f 0,2 = 1,679 ; f 0,3 = 3,113 ; f 0,4 = 5,293 ;

f 0,5 = 8,595 ; f 0,6 = 13,508 ; f 0,7 = 20,678 ; f 0,8 = 30,958 ;

f 0,9 = 45,485 ; f 1 = 65,763

Substituindo esses valores na equação de cima e simplificando, temos:

S 10 = 24,1432

E, o valor da integral calculado numericamente numa calculadora, temos:

S = 24,14425

Resposta

S 10 = 24,1432

S = 24,14425

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