Enunciado

Encontre a área da superfície gerada quando a curva dada gira em torno do eixo x .

x =   y 3 ,     1 ≤ y ≤ 8

Passo 1

E aí, tudo joia?

Nessas de calcular área de superfície da curva girando em torno do eixo x a gente usa essa fórmula aqui:

S = ∫ c d 2 π y 1 + d y d x 2   d x

Beleza, vamos aplicar isso na nossa função e intervalo então!

Passo 2

Só que... nossa função aqui não está em x ...

Feita essa observação a gente tem que fazer um trabalhinho pra jogar essa função pra x .

Vamos lá...

x =   y 3 → x 3 = y → y = x 3

Até que foi tranquilo né? Agora a gente muda os intervalos:

1 ≤ y ≤ 8

1 ≤ x ≤ 2

Belezinha! Já preparamos o terreno agora!

Passo 3

Agora a gente deriva essa função y = x 3 :

y ' = 3 x 2

Aí vamos para a integral:

∫ 1 2 2 π x 3 1 + 3 x 2 2   d x

π ∫ 1 2 2 x 3 1 + 9 x 4   d x

Agora a gente vai ter que fazer uma substituiçãozinha...

Passo 4

Vamos fazer:

u =   1 + 9 x 4

d u = 36 x 3   d x → d u 18 = 2 x 3 d x

Aí vai ficar:

= π ∫ u d u 18  

= π 1 18 2 3 u 3 2 = π 27 u 3 2

Vamos voltar pra variável x ...

= π 27 1 + 9 x 4 3 2 1 2

= π 27 145 3 2 - 10 3 2

E pronto! Essa é a área pedida😉

Resposta

π 27 145 3 2 - 10 3 2

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