Enunciado

Use a regra de Simpson com n = 10 para aproximar a área da superfície obtida através da rotação da curva ao redor do eixo x . Compare sua resposta com o valor da integral obtida com uma calculadora.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a função:

y = x ln ⁡ x ,   1 ≤ x ≤ 2

Conforme vimos nessa seção do livro, a área da superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo x é dada por:

S = ∫ 2 π y d s

E, tendo:

d s = 1 + d y d x 2 d x

Substituindo d s na equação anterior:

S = ∫ 2 π y 1 + d y d x 2 d x

E, pela regra de Simpson, podemos aproximar o valor da integral fazendo:

f x = 2 π y 1 + d y d x 2 d x

E, tendo n = 10 , o intervalo será dividido em 10 partes, como 1 ≤ x ≤ 2 :

Δ x = 2 - 1 10 = 0,1

Passo 2

Então já sabemos o que precisamos calcular, o valor da derivada de y , lembrando de aplicar a regra do produto, temos:

y ' = x . 1 x + ln ⁡ x = 1 + ln ⁡ x

Substituindo esse valor na fórmula da área de superfície encontrada no passo 1:

S = ∫ 0 1 2 π x ln ⁡ x 1 + 1 + ln ⁡ x 2 d x

Dessa forma, f x será:

f x = 2 π x ln ⁡ x 1 + 1 + ln ⁡ x 2

Passo 3

Agora ficou fácil, podemos aproximar essa integral, separando o intervalo em 10 partes, com incremento de 0,1 conforme visto no passo 1 da seguinte forma:

S ≅ S 10 = 0,1 3 f 1 + 4 f 1,1 + 2 f 1,2 + 4 f 1,3 + 2 f 1,4 + 4 f 1,5 + 2 f 1,6 + 4 f 1,7 + 2 f 1,8 + 4 f 1,9 + f 2

Calculando os valores, temos:

f 1 = 0 ; f 1,1 = 0,977 ; f 1,2 = 2,129 ; f 1,3 = 3,451 ; f 1,4 = 4,940 ;

f 1,5 = 6,592 ; f 1,6 = 8,400 ; f 1,7 = 10,363 ; f 1,8 = 12,474 ;

f 1,9 = 14,730 ; f 2 = 17,128

Substituindo esses valores na equação de cima e simplificando, temos:

S 10 = 7,2456

E, o valor da integral calculado numericamente numa calculadora, temos:

S = 7,2489

Resposta

S 10 = 7,2456

S = 7,2489

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a regra de Simpson com n = 10 para aproximar a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x . Compare o seu resultado com o valor da integral obtido em sua calculadora y = se
A curva dada é girada em torno do eixo y . Calcule a área da superfície resultante y = x 3 , 1 ≤ y ≤ 2
Use a regra de Simpson com n = 10 para aproximar a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x . Compare o seu resultado com o valor da integral obtido em sua calculadora y = x
A curva dada é girada em torno do eixo y . Calcule a área da superfície resultante y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1
Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x y = x 3 6 + 1 2 x , 1 2 ≤ x ≤ 1