Enunciado

Use a regra de Simpson com n = 10 para aproximar a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x . Compare o seu resultado com o valor da integral obtido em sua calculadora

y = sec ⁡ x ,     0 ≤ x ≤ π / 3

Passo 1

Primeiro, vamos diferenciar a função y , pra isso

y ' = sec ⁡ x tan ⁡ x

Então, agora faremos

1 + y ´ 2 = 1 + sec 2 ⁡ x tan 2 ⁡ x

Agora, colocando na integral, temos

S = ∫ 0 π 3 2 π sec ⁡ x 1 + sec 2 ⁡ x tan 2 ⁡ x   d x

Vamos dizer que

f x = 2 π sec ⁡ x 1 + sec 2 ⁡ x tan 2 ⁡ x

Passo 2

Pela regra de Simpson, temos que

∆ x = π 3 - 0 10 = π 30

Então, podemos calcular a integral

S ≈ S 10 ≈ π 30 3 f 0 + 4 f π 30 + 2 f 2 π 30 + … + 2 f 8 π 30 + 4 f 9 π 30 + f π 3 ≈ 13,527296

Passo 3

Utilizando uma calculadora gráfica, vemos que o valor da integral é S ≈ 13,516987

Resposta

S ≈ 13,527296

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Se a curva infinita y = e - x , x ≥ 0 é girada em torno do eixo x , calcule a área da superfície resultante
Se a região R { ( x , y ) | x ≥ 1 ,0 ≤ y ≤ 1 / x } é girada em torno do eixo x , o volume do sólido resultante é finito. Mostre que a área da superfície é infinita.
A fórmula 4 é valida apenas quando f x ≥ 0 . Mostre que quando f x não é necessariamente positiva, a fórmula para a área da superfície torna-se S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2 d x
Ache a área da superfície do toro no Exercício 63 na seção 6.2
Se a curva y = f x ,a ≤ x ≤ b , gira em torno da reta horizontal y = c , onde f x ≤ c , encontre a fórmula para a área da superfície resultante.