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Use a regra de Simpson com n = 10 para aproximar a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x . Compare o seu resultado com o valor da integral obtido em sua calculadora

y = sec ⁡ x ,     0 ≤ x ≤ π / 3

Passo 1

Primeiro, vamos diferenciar a função y , pra isso

y ' = sec ⁡ x tan ⁡ x

Então, agora faremos

1 + y ´ 2 = 1 + sec 2 ⁡ x tan 2 ⁡ x

Agora, colocando na integral, temos

S = ∫ 0 π 3 2 π sec ⁡ x 1 + sec 2 ⁡ x tan 2 ⁡ x   d x

Vamos dizer que

f x = 2 π sec ⁡ x 1 + sec 2 ⁡ x tan 2 ⁡ x

Passo 2

Pela regra de Simpson, temos que

∆ x = π 3 - 0 10 = π 30

Então, podemos calcular a integral

S ≈ S 10 ≈ π 30 3 f 0 + 4 f π 30 + 2 f 2 π 30 + … + 2 f 8 π 30 + 4 f 9 π 30 + f π 3 ≈ 13,527296

Passo 3

Utilizando uma calculadora gráfica, vemos que o valor da integral é S ≈ 13,516987

Resposta

S ≈ 13,527296

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