Enunciado

Se a região R { ( x , y ) | x ≥ 1 ,   0 ≤ y ≤ 1 / x } é girada em torno do eixo x , o volume do sólido resultante é finito. Mostre que a área da superfície é infinita.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que a área da superfície é infinita, mesmo o volume desse sólido sendo finito.

Para isso, precisamos lembrar como é a área de uma superfície de revolução, que é da seguinte forma:

S = ∫ c d 2 π y 1 + d y d x 2   d x

Calculando essa integral, vamos analisar o resultado para verificar se a nossa área é de fato infinita.

Vamos lá!

Passo 2

Então, vamos primeiro calcular a derivada y ' :

y ' = - 1 x 2

Agora, vamos inserir esse resultado na raiz do nosso integrando:

1 + d y d x 2 d x = 1 + 1 x 4 d x

Passo 3

Agora, podemos calcular S , só substituirmos o que já encontramos no passo anterior:

S = ∫ 1 ∞ 2 π 1 x 1 + 1 x 4 d x

= 2 π ∫ 1 ∞ x 4 + 1 x 3 d x

Antes de calcular esta integral, vamos analisar a raiz no numerador. Observe o seguinte:

x 4 + 1 > x 4

= x 2   ∀   x > 0

Então, temos que :

S = 2 π ∫ 1 ∞ x 4 + 1 x 3 d x > 2 π ∫ 1 ∞ x 2 x 3 d x

Simplificando a fração do lado direito da desigualdade:

= 2 π ∫ 1 ∞ 1 x

Mas sabemos que esta integral diverge, portanto, a área de S é infinita. Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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