Calcule

∫ x 2 x 2 + a 2 3 2 d x

  1. Por substituição trigonométrica

Passo 1

Bom, pra começar, vamos fazer a seguinte substituição, vamos dizer que

x = a tan ⁡ θ

Diferenciando, temos que

d x = a sec 2 ⁡ θ d θ

Então, podemos substituir

∫ x 2 x 2 + a 2 3 2 d x = ∫ a 2 tan 2 ⁡ θ a 2 tan 2 ⁡ θ + a 2 3 2 a sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ a 2 tan 2 ⁡ θ a 2 ( 1 + tan 2 ⁡ θ 3 2 a sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 2

Pra resolver essa integral, precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: 1 + tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ

∫ a 2 tan 2 ⁡ θ a 2 ( 1 + tan 2 ⁡ θ 3 2 a sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ a 2 tan 2 ⁡ θ a 2 sec 2 ⁡ θ 3 2 a sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ a 2 tan 2 ⁡ θ a 3 sec 3 ⁡ θ a sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ tan 2 ⁡ θ sec ⁡ θ d θ = ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 sec ⁡ θ d θ = ∫ sec ⁡ θ d θ - ∫ 1 sec ⁡ θ d θ = ∫ sec ⁡ θ d θ - ∫ cos ⁡ θ d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ - sin ⁡ θ + c

Resposta

∫ x 2 x 2 + a 2 3 2 d x = ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ - sin ⁡ θ + c

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