Enunciado

Use a regra de Simpson com n = 10 para estimar o comprimento de arco da curva. Compare a sua resposta com o valor da integral produzido pela sua calculadora.

y = x 3 ,   1 ≤ x ≤ 6

Passo 1

Vamos relembrar qual a regra de Simpson, ok?

∫ a b f ( x )   d x = Δ 3 [   f x 0 + 4 f x 1 + 2   f x 2 + 4   f x 3 + ⋯ + 2   f x n - 2 + 4   f x n - 1 + f x n

Com Δ = b - a    

No nosso caso, a integral que desejamos calcular é

L =   ∫ 1 6   1 + d y d x 2   d x

Primeiro, vamos achar a derivada da função

Passo 2

Pela regra do produto,

y ' = 1 3 x 2 3   ⇒ 1 + d y d x 2 =     1 + 1 3 x 2 3 2

Substituindo,

L =   ∫ 1 6   1 + 1 3 x 2 3 2   d x  

Isso nos diz que

f x = 1 + d y d x 2 =   1 + 1 3 x 2 3 2

Passo 3

Usando Simpson com n = 10 , temos que

Δ x = 6 - 1 10 = 1 2

Sendo assim, temos que nossos pontos são

x 0 = 1 ; x 1 = 3 2   ; x 2 = 4 2 ; x 3 = 5 2 ; x 4 = 6 2 ; x 5 = 7 2 ; x 6 = 8 2 ; x 6 = 9 2 ;   x 8 = 10 2 ;   x 9 = 1 1 2 ,   x 10 = 12 2

Substituindo,

L ≈ 1 2 3   f 1 + 4   f 3 2 + 2 f 4 2 + 4 f 5 2 + 2   f 6 2 + 4   f 7 2 + 2 f 8 2 + 4 f 9 2 + 2 f 10 2 + 4 f 11 2 + f 12 2 ≈ 4,997899

Usando a calculadora,

L =   ∫ 1 6   1 + d y d x 2   d x ≈   5 ,   07409 0

Resposta

Por Simpson   L ≈ 4,997899 pela calculadora L ≈ 5 ,   074090

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