Enunciado

  1. Escreva a integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
  2. Use sua calculadora para determinar a integral com precisão de cinco casas decimais.

x 2 - y 2 = 7 ,   x = 4 m torno do eixo y = 5

Passo 1

Vamos resolver o item a) primeiro.

Vamos desenhar as curvas para nos dá uma ideia do que vamos rotacionar, bleza?

Usando a formula para o volume do sólido de rotação em relação ao eixo y ,   ou seja,

V = ∫ a b 2 π x f x   d x  

Temos que a altura da curva é dada pela diferença entre as curvas y =   - x 2 - 7 e y =   x 2 - 7 . Ou seja

  7 + y 2 - ( -   7 + y 2 )

Já a circunferência, como não iniciamos a rotação de zero, é dada por 5 - y   .  

Intercectando as curvas, temos que isso ocorre nos pontos y = ± 3  

Sendo assim,

V = ∫ - 3 3   2 π 5 - y 2 7 + y 2 d y  

Passo 2

Agora vamos usar a calculadora para resolver a integral anterior, beleza ?

V = ∫ - 3 3   2 π 5 - y 2 7 + y 2 d y   ≈ 1181,9

Resposta

V ≈ 1181,9

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