Enunciado

Use o resultado do Exercício 30 para mostrar o seguinte:

  1. A equação x 3 + 4 x - 1 = 0 tem exatamente uma raiz real.

Passo 1

Precisamos usar o Teorema de Rolle para provar essa afirmação.

Ele diz que se temos f ' x = 0 em um intervalo, a função tem duas raízes. Caso contrário, devemos ter menos do que duas raízes.

Se chamarmos f x = x 3 + 4 x - 1 e calcularmos a derivada:

f ' x = 3 x 2 + 4

Vemos que essa derivada nunca vai zerar, porque é a soma de termos positivos. Logo não teremos f ' x = 0 no intervalo, e por isso, o número máximo de raízes dessa função é 1 (já que temos uma função polinomial que é diferenciável sempre). E já que vemos que a função tem termos positivos e negativos, ela vai passar por f x = 0 em algum momento. Logo a equação tem exatamente uma solução.

Resposta

Prova nos passos

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