Enunciado

Verifique se a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio.

f x = 2 x 2 - 3 x + 1           [ 0,2 ]

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom.. o enunciado nos dá a seguinte função e seu intervalo, respectivamente:

f x = 2 x 2 - 3 x + 1           [ 0,2 ]

Queremos verificar se a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo dado.

Com isso, devemos encontrar os números c que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio.

Mas que Teorema é esse?

Seguinte, para o Teorema do Valor Médio uma função deve ser contínua em um intervalo [ a , b ] e derivável em ( a , b ) . Sendo que existe um numero c em ( a , b ) , tal que

f ' c = f b - f ( a ) b - a

Tendo essas informações podemos calcular!!

Passo 2

A nossa função f x = 2 x 2 - 3 x + 1 é contínua em [0,2] e derivável em ( 0,2 ) , portanto,

f ' c = f 2 - f ( 0 ) 2 - 0

Substituindo o intervalo [ 0,2 ] na função,

f 0 = 2 * 0 - 3 * 0 + 1 ∴

f 0 = 1

f 2 = 2 * 2 2 - 3 * 2 + 1 ∴

f 2 = 3

Passo 3

Derivando a equação, temos:

f ' x = 2 x 2 - 3 x + 1 ∴

f ' ( x ) = 4 x - 3

Agora, é só substituirmos:

4 c - 3 = 3 - 1 2 - 0 ∴

4 c - 3 = 2 2 ∴

4 c = 1 + 3 ∴

c = 1

Prontinho!!

Resposta

c = 1

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