Enunciado

A equação de demanda para um brinquedo é p 2 x = 5000 , onde x brinquedos são demandados por mês, quando p for o preço de cada unidade. Espera-se que em t meses, onde t ∈ [ 0,6 ] , o preço do brinquedo seja p , onde 20 p = t 2 + 7 t + 100 . Qual será a taxa estimada da variação da demanda em relação ao tempo em 5 meses? Não expresse x em termos de t , mas use a regra da cadeia.

Passo 1

O enunciado nos fornece x em função de p e p em função de t e deseja a derivada de x com relação a t para t = 5 . Em linguagem matemática, temos que a achar a derivada da função composta

x t = x p t

Para isso, você precisa lembrar da famosa regra da cadeia: a derivada da composta é a derivada da “de fora” calculada na “de dentro” vezes a derivada da “de dentro”.

x ' t = x ' p t ⋅ p ' ( t )

Assim, com t = 5 , devemos calcular

x ' = x ' p 5 ⋅ p ' 5

Passo 2

Vamos calcular primeiro x ' p 5 . Isolando x como função de p e derivando, temos que

x p = 5000 p 2 = 5000 p - 2 ⇒ x ' p = - 2 ⋅ 5000 p - 3 = - 10000 p 3

Calculando p ( 5 ) :

p t = t 2 + 7 t + 100 20 ⇒ p 5 = 25 + 35 + 100 20 = 160 20 = 8

Assim,

x ' p 5 = - 10000 8 3 = - 10000 512 = - 625 32

Passo 3

Agora vamos achar p ' ( 5 ) . Derivando p ( t ) :

p ' t = 2 t 20 + 7 20 = 2 t + 7 20

Substituindo t = 5 :

p ' 5 = 10 + 7 20 = 17 20

Assim,

x ' = - 625 32 ⋅ 17 20 = - 125 32 ⋅ 17 4 = - 2125 128 ≈ - 16,6

Resposta

≈ - 16,6 brinquedos/mês.

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