Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.5 - Ex. 50
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.
Passo 1
A gente precisa lembrar certinho dos passos, em? Se seguir tudo bonitinho todo mundo acha a curva!!
- Primeiro a gente procura o domínio da função. Olhando pra ela, vemos que temos na base de uma fração , logo, o único valor que não pode assumir é , portanto, o domínio é .
- Agora procuramos intersecções. Há intersecção com o eixo se for possível encontrar , mas já vimos ali em cima que não pode assumir esse valor então pimba! Não tem intercepto no eixo . Agora, testamos o do eixo igualando a função a zero, e no nosso caso, não existe, então não há intercepto também!
- Testando as três possibilidades de simetria:
- Agora tem que lembrar lá do começo como resolve limite, porque vamos procurar as assíntotas. Então bora lá. Temos que, então é uma assíntota vertical. Além disso, então, o gráfico se aproxima pela origem quando .
- Primeiro vamos encontrar os intervalos em que a função cresce ou decresce calculando a derivada primeira:
- Agora é a hora de achar os pontos extremos. Para procurar os pontos mínimos, é importante olhar onde a função decresce, porque quando ela parar de decrescer e mudar o sinal, ali teremos nosso ponto. Mas nesse caso, a função decresce de até , mas bem no momento em que ela para de decrescer temos uma assíntota, então não temos ponto de mínimo. Há máximo local em porque a função está crescendo até e nesse momento ela começa a decrescer, formando aquela famosa montanhazinha /\.
- O último passo antes de montar o gráfico é achar as concavidades e pontos de inflexão, que vamos encontrar calculando a segunda derivada:
Já que nenhuma das três possibilidades acontece, não há simetria.
Passo 2
A gente vai entrar agora na parte das derivadas, não pode esquecer em!
Se é maior que zero nesses valores, quer dizer que conseguimos encontrar o intervalo em que ela cresce, que é em e , e no resto da função ela decresce, que é em .
Como é positiva para , em todo esse intervalo então sabemos que ela faz o sorrisão, e é côncava para cima, em , e côncava para baixo em que é o restante. Lembra que a gente tem um assíntota em Então, nesse ponto a concavidade deveria mudar o sinal e nos dar um ponto de inflexão, mas por conta da assíntota, ele não existe.
Passo 2
Após esse mundaréu de passos, vamos para o gráfico!! Agora fica fácil de visualizar tudo, dá uma olhada naquela assíntota e uma relida nos passos para fixar tudo na cabeça!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)