Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = x e^(- (1)/(x))

Passo 1

A gente precisa lembrar certinho dos passos, em? Se seguir tudo bonitinho todo mundo acha a curva!!

  1. Primeiro a gente procura o domínio da função. Olhando pra ela, vemos que temos x na base de uma fração (- (1)/(x)) , logo, o único valor que x não pode assumir é 0 , portanto, o domínio é D = (- oo , 0) uu ( 0 , oo ) .
  2. Agora procuramos intersecções. Há intersecção com o eixo y se for possível encontrar f ( 0 ) , mas já vimos ali em cima que x não pode assumir esse valor então pimba! Não tem intercepto no eixo y . Agora, testamos o do eixo x igualando a função a zero, e no nosso caso, y = 0 não existe, então não há intercepto x também!
  3. Testando as três possibilidades de simetria:
  4. f (- x) != f ( x )

    f (- x) != - f (x)

    f ( x + p ) != f ( x )

    Já que nenhuma das três possibilidades acontece, não há simetria.

  5. Agora tem que lembrar lá do começo como resolve limite, porque vamos procurar as assíntotas. Então bora lá. Temos que underset(x -> 0^-)(lim) (e^(- (1)/(x)))/((1)/(x)) [[H],[=]] underset(x -> 0^-)(lim) (e^(- (1)/(x)) ((1)/(x^2)))/(- (1)/(x^2)) = - underset(x -> 0^-)(lim) e^(- (1)/(x)) = - oo , então x = 0 é uma assíntota vertical. Além disso, underset(x -> 0^+)(lim) x e^(- (1)/(x)) = 0 , então, o gráfico se aproxima pela origem quando x -> 0^+ .
  6. Passo 2

    A gente vai entrar agora na parte das derivadas, não pode esquecer em!

  7. Primeiro vamos encontrar os intervalos em que a função cresce ou decresce calculando a derivada primeira:
  8. f^' (x) = x e^(- (1)/(x)) ((1)/(x^2)) + e^(- (1)/(x)) (1) = e^(- (1)/(x)) ((1)/(x) + 1) = (x + 1)/(x e^((1)/(x))) > 0

    x < - 1 o u x > 0

    Se f é maior que zero nesses valores, quer dizer que conseguimos encontrar o intervalo em que ela cresce, que é em ( - oo , - 1 ) e (0 , oo) , e no resto da função ela decresce, que é em ( - 1,0 ) .

  9. Agora é a hora de achar os pontos extremos. Para procurar os pontos mínimos, é importante olhar onde a função decresce, porque quando ela parar de decrescer e mudar o sinal, ali teremos nosso ponto. Mas nesse caso, a função decresce de - 1 até 0 , mas bem no momento em que ela para de decrescer temos uma assíntota, então não temos ponto de mínimo. Há máximo local em f (- 1) = - e porque a função está crescendo até - 1 e nesse momento ela começa a decrescer, formando aquela famosa montanhazinha /\.
  10. O último passo antes de montar o gráfico é achar as concavidades e pontos de inflexão, que vamos encontrar calculando a segunda derivada:

f^(' ') (x) = e^(- (1)/(x)) (- (1)/(x^2)) + ((1)/(x) + 1) e^(- (1)/(x)) ((1)/(x^2)) = (1)/(x^2) e^(- (1)/(x)) [- 1 + ((1)/(x) + 1)] = (1)/(x^3 e^((1)/(x))) > 0

x > 0

Como f ' ' é positiva para x > 0 , em todo esse intervalo então sabemos que ela faz o sorrisão, e é côncava para cima, em ( 0 , oo ) , e côncava para baixo em (- oo , 0) , que é o restante. Lembra que a gente tem um assíntota em x = 0 ? Então, nesse ponto a concavidade deveria mudar o sinal e nos dar um ponto de inflexão, mas por conta da assíntota, ele não existe.

Passo 2

Após esse mundaréu de passos, vamos para o gráfico!! Agora fica fácil de visualizar tudo, dá uma olhada naquela assíntota e uma relida nos passos para fixar tudo na cabeça!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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