Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.

y = ln ( s e n x )^2

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos esboçar a curva com base no seguinte roteiro

( A ) Domínio

( B ) Intersecções com os eixos

( C ) Simetria

( D ) Assíntotas

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

( H ) Esboço da curva

Passo 2

( A ) Domínio

Nossa função está definida em ( s e n x )^2 > 0 . Dessa forma, como s e n x é uma função periódica que varia entre ( - 1 , 1 ) , então nossa função está definida em todos os valores de x exceto quando s e n x = 0 , que ocorre em x = 0 e em pi .

( B ) Intersecções com os eixos

No eixo y , a intersecção ocorre em f (0) . Assim, não há interseção no eixo y . Nossa função intercepta o eixo x em f (x) = 0 .

ln ( s e n x )^2 = 0

s e n x = e^0

s e n x = 1

Assim, ocorre interseção no eixo x em 2 n pi + (pi)/(2) , que são todos os valores em que s e n x = 1 e com n variando entre - oo até oo .

( C ) Simetria

Como nossa função é periódica, há simetria em relação ao eixo y .

( D ) Assíntotas

O gráfico não possui assíntotas horizontais. Isso ocorre pois quando x -> +- oo o limite não existe. Em compensação, quando calculamos o limite

underset(x -> 2 npi +)(lim) f ( x ) = oo

E

underset(x -> (2 n + 1) pi -)(lim) f ( x ) = oo

Dessa forma, em x = (2 n + 1) pi e x = 2 n pi temos uma assíntota vertical.

Passo 3

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

Derivando a função, temos

f^' (x) = (2 cos x)/(s e n x) = 2 cot x

f^' (x) > 0 para 2 n pi < x < 2 n pi + (pi)/(2) e f^' (x) < 0 para 2 n pi + (pi)/(2) < x < ( 2 n + 1 ) pi . Assim, nossa função está crescendo em ( 2 n pi , 2 n pi + (pi)/(2) ) e decrescendo em ( 2 n pi + (pi)/(2) , ( 2 n + 1 ) pi ) .

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

A função possui pontos críticos em 2 n pi + (pi)/(2) . Assim, em f ( 2 n pi + (pi)/(2) ) temos um ponto de mínimo local e a função não possui valor de máximo local.

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

Tirando a segunda derivada da função, temos

f^(' ') (x) = - 2 c s c^2 x

Para todos os valores de x , temos f^(' ') ( x ) negativo. Então, nossa função possui a concavidade para baixo em todos os pontos do domínio.

( H ) Esboço da curva

Podemos então esboçar graficamente a curva

Resposta

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