Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.5 - Ex. 47
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.
Passo 1
Bom galera, nesse exercício iremos esboçar a curva com base no seguinte roteiro
Domínio
Intersecções com os eixos
Simetria
Assíntotas
Intervalos de crescimento e decrescimento
Valores de máximo e mínimo locais
Concavidade e ponto de inflexão
Esboço da curva
Passo 2
Domínio
Nossa função está definida em . Dessa forma, como é uma função periódica que varia entre , então nossa função está definida em todos os valores de exceto quando , que ocorre em e em .
Intersecções com os eixos
No eixo , a intersecção ocorre em . Assim, não há interseção no eixo . Nossa função intercepta o eixo em .
Assim, ocorre interseção no eixo em , que são todos os valores em que e com variando entre até .
Simetria
Como nossa função é periódica, há simetria em relação ao eixo .
Assíntotas
O gráfico não possui assíntotas horizontais. Isso ocorre pois quando o limite não existe. Em compensação, quando calculamos o limite
E
Dessa forma, em e temos uma assíntota vertical.
Passo 3
Intervalos de crescimento e decrescimento
Derivando a função, temos
para e para . Assim, nossa função está crescendo em e decrescendo em .
Valores de máximo e mínimo locais
A função possui pontos críticos em . Assim, em temos um ponto de mínimo local e a função não possui valor de máximo local.
Concavidade e ponto de inflexão
Tirando a segunda derivada da função, temos
Para todos os valores de , temos negativo. Então, nossa função possui a concavidade para baixo em todos os pontos do domínio.
Esboço da curva
Podemos então esboçar graficamente a curva