Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 33
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva:
Passo 1
Bora desenhar o gráfico da função:
O primeiro passo é definir o domínio de , isto é, o conjunto dos valores de para os quais está definida. Assim, temos que:
Passo 2
Agora devemos definir as intersecções com os eixos. Para o eixo a interseção é dada por e para o eixo fazemos e isolamos o . Assim, temos que:
Podemos começar a colocar os pontos na curva. Vamos pegar :
Passo 3
Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:
Se para todo em , é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo . Caso isso ocorra basta refletir a curva em torno do eixo para obter a curva completa.
Se para todo em , é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva em em torno da origem para obter a curva completa.
Se para todo em , onde é uma constante positiva, é uma função periódica e o menor desses números é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.
Tomando temos:
, então é periódica com período .
Logo como a função obedece o caso ii e iii, é uma função ímpar e periódica.
Se a função é ímpar, podemos esperar algo assim:
Ou assim:
Vamos guardar essa informação!
Passo 4
Devemos verificar agora se a função possui assíntotas:
Assíntota horizontal:
Se então a reta é uma assíntota horizontal da curva .
Se resultar que , então não temos uma assíntota à direita.
Assíntota vertical: a reta é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:
Temos:
Assim, não há assíntota horizontal e não possuímos valores para analizar que se enquadre no caso da assíntota vertical . Logo a função não possui assíntota.
Passo 5
O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. Calculamos e encontramos os intervalos nos quais é positiva ( é crescente) e os intervalos nos quais é negativa ( é decrescente) .
Derivando temos:
Então, é crescente em e decrescente em . Ou seja, vamos ter alguma coisa mais parecida com:
Passo 6
Calcularemos agora os pontos críticos, números em que ou . Aplicando o Teste da Derivada, se muda de positiva para negativa em um número crítico , então é um máximo local. Se muda de negativa para postiva em , então é um mínimo local. Podemos também analisar a função visto que já definimos no passo anterior os pontos em que ela cresce e decresce, logo podemos observar que a função terá seu ponto de máximo para x e ponto de mínimo para .
Passo 7
Calcularemos agora a concavidade da função utilizando . Se a função é côncava para cima e se a função é côncava para baixo.
Assim temos que:
Então para satisfazer essas condições, temos que:
Então, considerando é côncava para baixo com no intervalo de e côncava para cima com nos intervalos e .
Passo 8
Por fim, esboçando a curva obtemos:
Resposta
Resposta nos passos