Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva:

y = s e n^3 x

Passo 1

Bora desenhar o gráfico da função:

y = s e n^3 x

O primeiro passo é definir o domínio D de f , isto é, o conjunto dos valores de x para os quais f ( x ) está definida. Assim, temos que:

D = I R

Passo 2

Agora devemos definir as intersecções com os eixos. Para o eixo y a interseção é dada por f ( 0 ) e para o eixo x fazemos y = 0 e isolamos o x . Assim, temos que:

f (0) = 0

0 = s e n^3 x => x = k pi , s e n d o k u m n ú m e r o i n t e i r o q u a l q u e r

Podemos começar a colocar os pontos na curva. Vamos pegar k = - 2 , - 1,0 , 1,2 :

Passo 3

Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:

Se f (- x) = f ( x ) para todo x em D , f é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo y . Caso isso ocorra basta refletir a curva x >= 0 em torno do eixo y para obter a curva completa.

Se f (- x) = - f (x) para todo x em D , f é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva x >= 0 em 180 g r a u s em torno da origem para obter a curva completa.

Se f (x + p) = f ( x ) para todo x em D , onde p é uma constante positiva, f é uma função periódica e o menor desses números p é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.

Tomando x = (pi)/(2) , temos:

f (- (pi)/(2)) = f ((pi)/(2)) => s e n^3 (- (pi)/(2)) = s e n^3 ((pi)/(2)) => - 1 != 1

f (- 1) = - f (1) => s e n^3 (- (pi)/(2)) = - (s e n^3 ((pi)/(2))) => - 1 = - 1

f (x + 2 pi) = f ( x ) , então é periódica com período 2 pi .

Logo como a função obedece o caso ii e iii, f é uma função ímpar e periódica.

Se a função é ímpar, podemos esperar algo assim:

Ou assim:

Vamos guardar essa informação!

Passo 4

Devemos verificar agora se a função f possui assíntotas:

Assíntota horizontal:

Se underset(x -> oo)(lim) f (x) = L e underset(x -> - oo)(lim) f (x) = L , então a reta y = L é uma assíntota horizontal da curva y = f ( x ) .

Se resultar que underset(x -> oo)(lim) f (x) = oo ( o u - oo ) , então não temos uma assíntota à direita.

Assíntota vertical: a reta x = a é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:

underset(x -> a^+)(lim) f (x) = oo underset(x -> a^-)(lim) f (x) = oo

underset(x -> a^+)(lim) f (x) = - oo underset(x -> a^-)(lim) f (x) = - oo

Temos:

underset(x -> oo)(lim) s e n^3 x = oo

Assim, não há assíntota horizontal e não possuímos valores para analizar que se enquadre no caso da assíntota vertical ( x = a ) . Logo a função não possui assíntota.

Passo 5

O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. Calculamos f ' ( x ) e encontramos os intervalos nos quais f ' ( x ) é positiva ( f é crescente) e os intervalos nos quais f ' ( x ) é negativa ( f é decrescente) .

Derivando temos:

f^() (x) = s e n^3 x => f^' (x) = 3 s e n^2 (x) cos (x) > 0

=> cos (x) > 0 e s e n x != 0 => 0 < x < (pi)/(2)

Então, f é crescente em (0 , (pi)/(2)) e decrescente em ( (pi)/(2) , pi ) . Ou seja, vamos ter alguma coisa mais parecida com:

Passo 6

Calcularemos agora os pontos críticos, números c em que f ' (c) = 0 ou f^' (c) n ã o e x i s t e . Aplicando o Teste da Derivada, se f ' ( x ) muda de positiva para negativa em um número crítico c , então f ( c ) é um máximo local. Se f ' ( x ) muda de negativa para postiva em c , então f ( c ) é um mínimo local. Podemos também analisar a função f visto que já definimos no passo anterior os pontos em que ela cresce e decresce, logo podemos observar que a função f terá seu ponto de máximo para x = (pi)/(2) => f ((pi)/(2)) = 1 e ponto de mínimo para x = - (pi)/(2) => f (- (pi)/(2)) = - 1 .

Passo 7

Calcularemos agora a concavidade da função f utilizando f ' ' ( x ) . Se f^(' ') (x) > 0 a função é côncava para cima e se f^(' ') (x) < 0 a função é côncava para baixo.

Assim temos que:

f^' (x) = 3 s e n^2 (x) cos (x) => f^(' ') (x) = 6 s e n (x) cos^2 (x) - 3 s e n^3 (x) =

= 3 s e n ( x ) [ 2 cos^2 (x) - s e n^2 (x) ] = 3 s e n (x) [ (2 (1 - s e n^2 (x)) - s e n^2 (x)] =

= 3 s e n (x) [2 - 3 s e n^2 (x)] > 0 => 3 s e n (x) > 0 e (2 - 3 s e n^2 (x)) > 0

=> ( i ) s e n (x) > 0 e ( i i ) s e n^2 (x) < (2)/(3)

Então para satisfazer essas condições, temos que:

(i) 0 < x < pi e (i i) 0 < s e n x < sqrt((2)/(3)) => 0 < x < s e n^(- 1) sqrt((2)/(3))

Então, considerando alpha = s e n^(- 1) sqrt((2)/(3)) , f é côncava para baixo com x no intervalo de ( alpha , pi - alpha ) e côncava para cima com x nos intervalos ( 0 , alpha ) e ( pi - alpha , pi ) .

Passo 8

Por fim, esboçando a curva obtemos:

Resposta

Resposta nos passos

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