Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva:

y = (x^3)/(x - 2)

Passo 1

Opa! Bora lá? O enunciado nos pede pra esboçar a seguinte curva:

y = (x^3)/(x - 2)

O primeiro passo é definir o domínio D de f , isto é, o conjunto dos valores de x para os quais f ( x ) está definida. Temos neste caso que o denominador não é definido se for igual a zero, então podemos escrever que:

x - 2 != 0

x != 2

Assim, temos que:

D = {x in I R| x != 2 }

Passo 2

Agora devemos definir as intersecções com os eixos!

Para o eixo y a interseção é dada por f ( 0 ) :

f (0) = (0^3)/(0 - 2) = 0

Agora, para o eixo x fazemos y = 0 e isolamos o x :

0 = (x^3)/(x - 2) => x = 0

Logo a função passa pela origem ( 0,0 )

Passo 3

Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:

  1. Se f (- x) = f ( x ) para todo x em D , f é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo y . Caso isso ocorra basta refletir a curva x >= 0 em torno do eixo y para obter a curva completa.
  2. Se f (- x) = - f (x) para todo x em D , f é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva x >= 0 em 180 g r a u s em torno da origem para obter a curva completa.
  3. Se f (x + p) = f ( x ) para todo x em D , onde p é uma constante positiva, f é uma função periódica e o menor desses números p é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.

Vamos olhar cada caso, tomando x = 1 , temos:

  1. f (- 1) = f (1) => (( - 1 )^3)/(- 1 - 2) = (1^3)/(1 - 2) => (1)/(3) != - 1
  2. f (- 1) = - f (1) => ((- 1)^3)/(- 1 - 2) = - ((1^3)/(1 - 2)) => (1)/(3) != 1
  3. Não possui período.

Logo a função não possui simetria.

Passo 4

Devemos verificar agora se a função f possui assíntotas:

Primeiro a assíntota horizontal, ela deverá existir caso:

underset(x -> oo)(lim) f (x) = L e underset(x -> - oo)(lim) f (x) = L , então a reta y = L é uma assíntota horizontal da curva y = f ( x ) .Se resultar que underset(x -> oo)(lim) f (x) = oo ( o u - oo ) , então não temos uma assíntota à direita.

Para nossa função, temos:

underset(x -> oo)(lim) (x^3)/(x - 2) = underset(x -> . oo)(lim) (x^3)/(x^3 ((1)/(x^2) - (2)/(x^3))) = underset(x -> oo)(lim) (1)/((1)/(x^2) - (2)/(x^3)) = oo

Assim, não há assíntota horizontal. Bora ver se existe assíntota vertical, sabendo que:

A reta x = a é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:

underset(x -> a^+)(lim) f (x) = oo underset(x -> a^-)(lim) f (x) = oo

underset(x -> a^+)(lim) f (x) = - oo underset(x -> a^-)(lim) f (x) = - oo

Tomando x = 2 , temos:

underset(x -> 2^-)(lim) (x^3)/(x - 2) = - oo

underset(x -> 2^+)(lim) (x^3)/(x - 2) = oo

Logo, temos duas assíntotas verticais em 2 .

Passo 5

O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. Calculamos f ' ( x ) e encontramos os intervalos nos quais f ' ( x ) é positiva ( f é crescente) e os intervalos nos quais f ' ( x ) é negativa ( f é decrescente). Derivando temos:

f^' (x) = (3 x^2 (x - 2) - x^3)/((x - 2)^2) = (2 x^3 - 6 x^2)/((x - 2)^2) = (2 x^2 ( x - 3 ))/((x - 2)^2) > 0 [ x != 2 ]

Então, x < 2 , f^' (x) < 0 , assim f é decrescente em (- oo , 0) e ( 0,2 ) e crescente em ( 2 , oo ) .

Passo 6

Calcularemos agora os pontos críticos, números c em que f ' (c) = 0 ou f^' (c) n ã o e x i s t e . Aplicando o Teste da Derivada, se f ' ( x ) muda de positiva para negativa em um número crítico c , então f ( c ) é um máximo local. Se f ' ( x ) muda de negativa para postiva em c , então f ( c ) é um mínimo local.

Temos que:

f^' (x) = 0 => (2 x^2 ( x - 3 ))/((x - 2)^2) = 0

Observamos que a equação é satisfeita para x = 2 e esse ponto não está definido na função, logo não possui é um ponto crítico; e para x = 3 , o qual pode ser. Vamos então analisar um ponto antes e depois dele:

  1. x = 2,5 => f (2,5) = ((2,5)^3)/(2,5 - 2) = 31,25
  2. x = 3 => f (3) = (3^3)/(3 - 2) = 27
  3. x = 4 => f (4) = (4^3)/(4 - 2) = 32

Logo a função descresce antes de 3 e cresce depois dele, sendo então um ponto de mínimo.

Passo 7

Calcularemos agora a concavidade da função f utilizando f ' ' ( x ) . Se f^(' ') (x) > 0 a função é côncava para cima e se f^(' ') (x) < 0 a função é côncava para baixo.

Assim temos que:

f^' (x) = (2 x^3 - 6 x^2)/((x - 2)^2) => f^(' ') (x) = ((6 x^2 - 12 x) (x - 2)^2 - 2 ( x - 2 ) ( 2 x^3 - 6 x^2 ))/((x - 4)^4) < 0

Então f é côncava para baixo com x no intervalo de ( 0,2 ) e côncava para cima com x nos intervalos ( - oo , 0 ) e ( 2 , oo ) .

Passo 8

Resumindo tudo:

  • D = {x in I R| x != 2 }
  • A função passa pela origem (0,0)
  • A função não possui simetria
  • Temos duas assíntotas verticais em x = 2 (underset(x -> 2^-)(lim) (x^3)/(x - 2) = - oo , underset(x -> 2^+)(lim) (x^3)/(x - 2) = oo)
  • f é decrescente em (- oo , 0) e ( 0,2 ) e crescente em ( 2 , oo ) .
  • A função descresce antes de 3 e cresce depois dele, sendo então um ponto de mínimo.
  • f é côncava para baixo com x no intervalo de ( 0,2 ) e côncava para cima com x nos intervalos ( - oo , 0 ) e ( 2 , oo ) .

Por fim, esboçando a curva obtemos:

Resposta

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