Enunciado

Use o gráfico dado de f para dizer o valor de cada quantidade, se ela existir. Se não existir, explique por quê .

  1. lim x → 2 - ⁡ f x (b) lim x → 2 + ⁡ f x (c) lim x → 2 ⁡ f x

(d) f 2 (e) lim x → 4 ⁡ f x (f) f 4

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu o seguinte gráfico de uma função f x :

Queremos, a partir do gráfico, analisar os limites laterais, os limites e as funções da função:

lim x → 2 - ⁡ f x

lim x → 2 + ⁡ f x

lim x → 2 ⁡ f x

f 2

lim x → 4 ⁡ f x

f 4

Para resolvermos isso, temos que saber dos limites laterais.

Mas o que são esses limites??

Bom... Os limites laterais descrevem o comportamento de uma função em relação a um ponto específico, considerando abordagens à direita e à esquerda desse ponto.

Lembrando que o limite só existe em um ponto se os limites laterais forem iguais!!

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Vamos analisar primeiro esse limite:

lim x → 2 - ⁡ f x

Como x → 2 - , devemos começar a analisar o gráfico pela esquerda até chegarmos em 2 :

Assim, analisando desse modo, quando x = 2 , f x   se aproxima de   3 , logo

lim x → 2 - ⁡ f x = 3

Passo 3

Agora, vamos analisar esse outro limite:

lim x → 2 + ⁡ f x

Como x → 2 + , devemos começar a analisar o gráfico pela direita:

Assim, analisando desse modo, quando x = 2 , f x   se aproxima de   1 , logo:

lim x → 2 + ⁡ f x = 1

Passo 4

Agora vamos analisar esse limite:

lim x → 2 ⁡ f x

Para x → 2 , devemos considerar os limites pela esquerda e pela direita.

Pelo que vimos no passo 1, temos que o limite só existe em um ponto se seus limites laterais forem iguais, ou seja:

lim x → a ⁡ f x = L

Se

lim x → a - ⁡ f x = L         e       lim x → a + ⁡ f x = L

Logo, como os limites laterais (pela esquerda e pela direita) são diferentes, concluímos que lim x → 2 ⁡ f x não existe.

Passo 5

Para f ( 2 ) , devemos observar no gráfico qual o valor de f ( x ) quando x = 2 :

Assim, temos que f 2 = 3 .

Outra maneira de saber, em gráficos descontínuos como este, é verificar para aquele ponto de descontinuidade, neste caso em x = 2 ,qual ponto tem uma “bolinha fechada”, isso indica que pertence a imagem.

Passo 6

Agora vamos analisar o limite lim x → 4 ⁡ f x .

Quando x → 4 , analisando o gráfico, começando tanto pela esquerda quanto pela direita, temos que f x   se aproxima de   4 , veja:

Logo, por definição, como os limites lateras são iguais, temos que:

lim x → 4 ⁡ f x = 4

Passo 7

Agora vamos verificar f 4 .

Apesar do limite existir quando x → 4 , o gráfico é descontínuo neste ponto (verifica-se isso por possuir uma “bolinha aberta” neste ponto do gráfico, o que significa que não tem imagem naquele ponto).

Portanto, f ( 4 ) não existe.

Resposta

  1. lim x → 2 - ⁡ f x = 3
  2. lim x → 2 + ⁡ f x = 1
  3. lim x → 2 ⁡ f x não existe
  4. f 2 = 3
  5. lim x → 4 ⁡ f x = 4
  6. f ( 4 ) não existe
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