Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva:

y = e^x // x^2

Passo 1

O primeiro passo é definir o domínio D de f , isto é, o conjunto dos valores de x para os quais f ( x ) está definida. Temos neste caso que o denominador não é definido se for igual a zero, então podemos escrever que:

x^2 != 0 => x != 0

Assim, temos que:

D = {x in I R| x != 0 }

Passo 2

Agora devemos definir as intersecções com os eixos. Para o eixo y a interseção é dada por f ( 0 ) e para o eixo x fazemos y = 0 e isolamos o x .

Assim, temos que:

f (0) n ã o e s t á d e f i n i d a

0 = (e^x)/(x^2) => n ã o e s t a d e f i n i d a

Logo a função não intercepta os eixos.

Passo 3

Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:

  1. Se f (- x) = f ( x ) para todo x em D , f é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo y . Caso isso ocorra basta refletir a curva x >= 0 em torno do eixo y para obter a curva completa.
  2. Se f (- x) = - f (x) para todo x em D , f é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva x >= 0 em 180 g r a u s em torno da origem para obter a curva completa.
  3. Se f (x + p) = f ( x ) para todo x em D , onde p é uma constante positiva, f é uma função periódica e o menor desses números p é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.

Tomando x = 1 , temos:

  1. f (- 1) = f (1) => (e^(- 1))/((- 1)^2) = (e^1)/((1)^2) => (1)/(e) != e
  2. f (- 1) = - f (1) => (e^(- 1))/((- 1)^2) = - ((e^1)/((1)^2)) => (1)/(e) != - e
  3. Não possui período.

Logo a função não possui simetria.

Passo 4

Devemos verificar agora se a função f possui assíntotas:

  1. Assíntota horizontal:
  2. Se underset(x -> oo)(lim) f (x) = L e underset(x -> - oo)(lim) f (x) = L , então a reta y = L é uma assíntota horizontal da curva y = f ( x ) .

    Se resultar que underset(x -> oo)(lim) f (x) = oo ( o u - oo ) , então não temos uma assíntota à direita.

  3. Assíntota vertical: a reta x = a é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:

underset(x -> a^+)(lim) f (x) = oo underset(x -> a^-)(lim) f (x) = oo

underset(x -> a^+)(lim) f (x) = - oo underset(x -> a^-)(lim) f (x) = - oo

Resolvendo o limite aplicando l’Hôspital temos:

underset(x -> oo)(lim) (e^x)/(x^2) = underset(x -> . oo)(lim) (e^x)/(2 x) = underset(x -> oo)(lim) (e^x)/(2) = oo

underset(x -> - oo)(lim) (e^x)/(x^2) = underset(x -> - oo)(lim) (e^x)/(2) = 0

Assim, há uma assíntota horizontal em y = 0 .

Tomando x = 0 , temos:

underset(x -> 0^+)(lim) (e^x)/(x^2) = underset(x -> 0^+)(lim) e^x xx underset(x -> 0^+)(lim) (1)/(x^2) = oo

Logo, temos uma assíntota vertical em 0 .

Passo 5

O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. Calculamos f ' ( x ) e encontramos os intervalos nos quais f ' ( x ) é positiva ( f é crescente) e os intervalos nos quais f ' ( x ) é negativa ( f é decrescente) .

Derivando temos:

f^' (x) = (e^x (x^2) - 2 x e^x)/(x^4) = (x ( x e^x - 2 e^x ))/(x^4) = (e^x ( x - 2 ))/(x^3) > 0

Por consequência:

e^x (x - 2) > 0 => x e^x > 2 e^x => x > 2

Então, x > 2 , f^' (x) > 0 , assim f é decrescente em (- oo , 0) e ( 0,2 ) e crescente em ( 2 , oo ) .

Passo 6

Calcularemos agora os pontos críticos, números c em que f ' (c) = 0 ou f^' (c) n ã o e x i s t e . Aplicando o Teste da Derivada, se f ' ( x ) muda de positiva para negativa em um número crítico c , então f ( c ) é um máximo local. Se f ' ( x ) muda de negativa para postiva em c , então f ( c ) é um mínimo local.

Temos que:

f^' (x) = 0 => (e^x ( x - 2 ))/(x^3) = 0

Observamos que a equação é satisfeita para x = 2 e observando o resultado do passo anterior podemos concluir que a função descresce antes de 2 e cresce depois dele, sendo então um ponto de mínimo.

Passo 7

Calcularemos agora a concavidade da função f utilizando f ' ' ( x ) . Se f^(' ') (x) > 0 a função é côncava para cima e se f^(' ') (x) < 0 a função é côncava para baixo.

Assim temos que:

f^' (x) = (e^x x - 2 e^x)/(x^3) => f^(' ') (x) = (( x e^x + e^x - 2 e^x ) x^3 - 3 x^2 ( x e^x - 2 e^x ))/(x^5) > 0

Então f é côncava para cima com x no intervalo de ( 0 , oo ) e ( - oo , 0 ) .

Passo 8

Por fim, esboçando a curva obtemos:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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