Use o roteiro desta seção para esboçar a curva

y = x \* ln(x)

Passo 1

Pra começar, vamos encontrar o domínio da função.

y = x ln ⁡ x

Repare que a única restrição que temos é com relação ao ln ⁡ x , pois o logaritmando deve ser positivo. Assim,

x > 0

Logo, o domínio da nossa função será x > 0 .

Passo 2

Agora vamos ver como fica nossa função em alguns pontos:

f x = x ln ⁡ x

Se x = 1 :

f 1 = 1 ⋅ ln ⁡ 1 = 0

Passo 3

Para analisarmos a simetria. É importante vermos se nossa função é ímpar ou par. Então vem comigo:

f x = x ln ⁡ x

Vamos ver como fica o f ( - x ) :

f - x = - x ln ⁡ - x

Com isso, vemos que f x ≠ - f - x e f ( x ) ≠ f - x . Portanto, nossa função não será ne par nem ímpar.

Passo 4

Seguindo o roteiro, chegamos à tarefa de analisar as assíntotas.

  1. Assíntota horizontal:

L = lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ x

Logo,

L = ∞

Então, vemos que não teremos nenhuma assíntota horizontal.

Passo 5

Para acharmos os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que achar f ' ( x ) .

f x = x ln ⁡ x

Derivando,

f ' x = ln ⁡ x + x ⋅ 1 x

Logo,

f ' x = ln ⁡ x + 1

Para f ' x > 0 :

ln ⁡ x + 1 > 0 → ln ⁡ x > - 1

Resolvendo a inequação:

x > 1 e

Logo, nossa função será crescente no intervalo acima.

Para f ' x < 0 :

ln ⁡ x + 1 < 0 → ln ⁡ x < - 1

Resolvendo a inequação:

x < 1 e

Como x > 0 :

0 < x < 1 e

Assim, nossa função será decrescente no intervalo acima.

Passo 6

Agora temos que achar os valores máximo e mínimos. Para isso, vamos fazer f ' x = 0 :

f ' x = ln ⁡ x + 1

Logo,

ln ⁡ x + 1 = 0

Resolvendo, temos:

x = 1 e ≈ 0,368

Passo 7

Para terminar, basta analisarmos as concavidades da curva. Para isso, vamos ver o sinal de f ' ' .

f ' x = ln ⁡ x + 1

Derivando,

f ' ' x = 1 x

Para f ' ' x > 0 :

1 x > 0

Logo,

x > 0

Como x > 0 já é o domínio da função, isso quer dizer que ela sempre terá concavidade para cima.

Passo 8

Pra finalizar, basta esboçarmos o gráfico de f :

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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